Bonjour,

J'ai un exercice à rendre pour vendredi de cette semaine et j'avoue avoir beaucoup de difficultés. Voici l'énoncé :

I

et est l'ensemble des fonctions tests

Pour et , on pose

1) Montrer que est bien définie pour tout . Montrer qu'en fait est une fonction dans .

Soit maintenant fixée telle que et . On définit alors pour tout entier j supérieur à 1 et pour .

2) Montrer que si f est continue et à support compact dans . Indication : on pourra écrire en justifiant que


3) On suppose que . Montrer que l'on a encore dans . Indication : on pourra utiliser le résultat de la densité dans des fonctions continues à support compact.

4) On suppose que et que la distribution associée à f est nulle. Montrer que f est nulle

II

Soit un ouvert de I et soit telle que .

1) Montrer que pour toute

2) En déduire que pour toute

3) En déduire que

Pour le I d'abord:
La question 1 on a ça dans le cours je crois même si il nous demande la démonstration. Pour la question 2) je crois qu'il faut utiliser le théorème de convergence dominé mais je vois pas vraiment comment majorer par exemple. La question 3) j'ai "approché" f par une fonction g continue à support compact vu la densité et utilisé la question 2) sur g mais je bloque là. Enfin je n'ai absolument aucune idée pour la question 4).

Pour le II:
J'ai fait la question 1). Mais pour les questions 2) et 3) je ne sais pas interpréter le produit scalaire dans

Je ne vous demande évidemment pas de faire les questions à ma place ça ne m'aiderait pas plus mais une aide serait la bienvenue j'avoue être bien bloqué et je ne suis pas le seul dans la classe...

Merci d'avance !