Méthode du gradient conjuguée pour Ax=b

[invite00c73359]

Bonjour,

Je dois rédiger un rapport sur cette méthode et son implémentation en fortran. J'avais pensé faire une première partie pour expliquer le principe de construction de cette méthode. Seulement je ne comprends pas tellement les raisons qui font que l'on choisit les directions de descente de manière à ce qu'elles soient A-conjuguées. De même pour les pas de descente je ne vois pas ce qui nous conduit à l'expression (minimiser la fonction c'est bien mais quelle lien avec le fait que l'on veut minimiser la fonctionnelle ?). Par la suite je vais implémenter l'algorithme et le comparer avec SOR (vitesse de convergence). Je voulais enfin faire quelque chose sur le théorème qui nous dit que la méthode converge vers la solution exacte en au plus n étapes : par exemple en montrant que ce n'est pas le cas dans la simulation. Ce phénomène est bien due aux erreurs d'arrondis ?

Merci d'avance !
-----

[invite00c73359]

Rebonjour,

Toujours dans l'idée de mon rapport, j'ai programmé la méthode en fortran mais je trouve que la convergence est "bizarre". Je m'explique : j'ai une convergence très rapide (je passe entre l'étape 1 et 2 de 37 à 10^-12 pour l'erreur entre la solution exacte et l'itérée) ceci pour un système d'ordre 3 ou 4. Pour certains systèmes de même ordre j'ai des NaN qui apparaissent très vite. Tout ceci à la limite je pense que c'est normale (convergence très rapide et erreurs d'arrondi pour les NaN) mais j'aimerais bien tester le programme sur une matrice d'ordre n (3 ou 4) mal conditionnée pour une convergence dépassant n itérations et des erreurs qui tendent un peu plus lentement vers 0 pour l'illustration dans mon rapport. Si quelqu'un a un exemple je suis preneur. J'ai testé sur une matrice de Hilbert (sdp) qui est mal conditionnée normalement mais j'ai une convergence très rapide quand même et l'erreur passe de 20 environ à 10^-16 en 1 étape !

Merci