Bonjour à tous,
Je me demandais si les espaces topologiques de la forme(munis de la topologie de l'ordre), où
est plus petit ordinal de cardinal strictement supérieur à celui de
, était séquentiellement compact (ie. toute suite admet une sous-suite convergente).
J'ai tout de même pu montrer que toute suite admet une valeur d'adhérence : Siest une suite d'ordinaux dans
, alors elle est majorée par
qui est de cardinal strictement inférieur à celui de
, d'où
; par conséquent,
est valeur dans
, qui est compact, d'où l'existence d'une valeur d'adhérence.
Par contre, je ne sais pas quoi dire à propos de la compacité séquentielle en elle-même, puisquen'est pas à base dénombrable (
ne possède pas de base de voisinages dénombrable) ; en particulier, le point
est donc un bon candidat pour chercher une suite avec valeur d'adhérence sans sous-suite convergente, mais
est séquentiellement compact, donc si
est valeur d'adhérence d'une suite, alors il existe une sous-suite convergeant vers cet ordinal...
Avez-vous une idée sur la compacité séquentielle de cet espace ?
Seirios
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