Une question naïve sur les ordinaux

[jpu017]

(préambule : nouveau sur FS, je ne suis pas sûr d'ouvrir la discussion au bon endroit. Pas de pb pour la déplacer, bien sûr)

Il y a un truc qui me chiffonne avec les ordinaux. Souvent, on voit des présentations comme : 1,2,3,…,ω,ω+1,… Ca suggère qu’à un moment, pouf ! On passe dans le monde magique des ordinaux !
J’ai la même désagréable impression avec la démonstration de Goodstein, mais dans le sens inverse : on a bien une suite décroissante d’ordinaux, puis, arrivés à ω, pouf ! On retombe dans le domaine entier, si je puis dire.
Or, on a beau entasser des entiers faramineux, démentiels, "après", il y a toujours un entier !
Pour les cardinaux, c’est moins choquant. Aleph zéro, c’est le cardinal de IN. Ce n’est pas un entier, soit. J'aimais bien le terme de Cantor, la "puissance" de IN.
Qu’est-ce qui m’échappe ?
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[Médiat]

(préambule : nouveau sur FS, je ne suis pas sûr d'ouvrir la discussion au bon endroit. Pas de pb pour la déplacer, bien sûr)

Plutôt Mathématiques du supérieur

Il y a un truc qui me chiffonne avec les ordinaux. Souvent, on voit des présentations comme : 1,2,3,…,ω,ω+1,… Ca suggère qu’à un moment, pouf ! On passe dans le monde magique des ordinaux !

Non, dès le départ, et tu aurais pu ajouter le 0, tu es dans le monde magique des ordinaux (même chose pour les suites de Goodstein)

Or, on a beau entasser des entiers faramineux, démentiels, "après", il y a toujours un entier !

C'est clair que ce n'est pas en faisant + 1 que l'on peut atteindre un ordinal limite (comme ω), c'est même leur définition.

Pour les cardinaux, c’est moins choquant. Aleph zéro, c’est le cardinal de IN. Ce n’est pas un entier, soit. J'aimais bien le terme de Cantor, la "puissance" de IN.

C'est pourtant pareil, 0, 1, 2 etc. sont des cardinaux comme ₀.
Si ce n'est toujours pas clair, pose des questions ...

[jpu017]

Plutôt Mathématiques du supérieur

OK, je demande le transfert à l'admin, alors

Non, dès le départ, et tu aurais pu ajouter le 0, tu es dans le monde magique des ordinaux (même chose pour les suites de Goodstein)
C'est clair que ce n'est pas en faisant + 1 que l'on peut atteindre un ordinal limite (comme ω), c'est même leur définition.

Tu n'es pas très sympathique, là, camarade : tu savais bien, ne serait-ce que par l'usage de la lettre oméga, que je voulais dire les ordinaux TRANSFINIS.
Mais bref, passé le bizutage, je persiste...

C'est pourtant pareil, 0, 1, 2 etc. sont des cardinaux comme ₀.
Si ce n'est toujours pas clair, pose des questions ...

Je persiste donc : le cardinal (je répète) TRANSFINI ₀ ne me choque pas parce qu'il est clairement hors du domaine entier.
A mon sens, mais c'est bien là que ça se noue, il est plus naturel de partir de là et d'écrire que le premier ordinal TRANSFINI (Ok, j'arrête...) est ω = ₀
... Mais ça ne me rassure pas sur la démonstration de Goodstein : par quelle magie redescend-on du transfini ω à un nombre fini, si colossal soit-il ?

[Médiat]

Mais ça ne me rassure pas sur la démonstration de Goodstein : par quelle magie redescend-on du transfini ω à un nombre fini, si colossal soit-il ?

C'est le principe de la construction de la suite ordinale "parallèle" à la suite d'entiers, par exemple au rang 3 on a obtenu g(2) = 3³ + 3, pour passer au rang suivant on obtient g(3) = 4⁴ + 4 - 1 = 4⁴ + 3, pour la suite ordinale on a successivement o(2) = ω^ω + ω ; on a remplacé toutes les occurences du rang (ici 3) par ω, mais au rang suivant on obtient o(3) = ω^ω + 3 ; c'est à dire que l'opération -1, dans la suite originelle, transforme ω en 3 dans la suite parallèle, ce n'est donc clairement pas une opération arithmétique (c'est sans doute ce point qui justifie que cette démonstration n'est pas transportable dans PA).

PS : si tu veux que l'on te réponde en fonction de ton niveau, exprime-toi clairement et écris transfini (les majuscules ne sont pas nécessaires) quand tu veux dire transfini, et ce n'est pas très aimable de dire à quelqu'un qui perd son temps à t'aider qu'il "n'est pas très sympathique", ceci risque donc d'être ma dernière contribution aux réponses à tes questions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jpu017]

C'est le principe de la construction de la suite ordinale "parallèle" à la suite d'entiers, par exemple au rang 3 on a obtenu g(2) = 3³ + 3, pour passer au rang suivant on obtient g(3) = 4⁴ + 4 - 1 = 4⁴ + 3, pour la suite ordinale on a successivement o(2) = ω^ω + ω ; on a remplacé toutes les occurences du rang (ici 3) par ω, mais au rang suivant on obtient o(3) = ω^ω + 3 ; c'est à dire que l'opération -1, dans la suite originelle, transforme ω en 3 dans la suite parallèle, ce n'est donc clairement pas une opération arithmétique (c'est sans doute ce point qui justifie que cette démonstration n'est pas transportable dans PA).

Oui, j'ai compris les grandes lignes de la démonstration : la suite parallèle dans le domaine transfini, du fait de ses règles de calcul différentes du domaine fini, est décroissante. Dans l'idée, ça me rappelle bien le principe de démonstration de convergence d'une suite en la majorant par une autre suite décroissante.
Ce qui me turlupine est que, pour que ce principe fonctionne, à un certain point, la suite parallèle doit "retomber" dans le domaine fini.
Comprends-tu mieux ce que je ne comprends pas ?

PS : si tu veux que l'on te réponde en fonction de ton niveau, exprime-toi clairement et écris transfini (les majuscules ne sont pas nécessaires) quand tu veux dire transfini, et ce n'est pas très aimable de dire à quelqu'un qui perd son temps à t'aider qu'il "n'est pas très sympathique", ceci risque donc d'être ma dernière contribution aux réponses à tes questions.

Arrêtons donc la polémique. Tu réponds si tu le désires.
Mon niveau est celui d'une classe préparatoire HEC il y a (presque) 30 ans.

[taladris]

Salut!

Je ne suis pas sûr de comprendre la question mais IN est inclus dans l'ensemble des ordinaux. Donc il n'est pas incohérent qu'une suite décroissante d'ordinaux prennent des valeurs entières au bout d'un certain temps

(si tu ne l'as pas encore fait, je te conseille de regarder le cours de Dehornoy sur les ordinaux dans la bibliothèque des mathématiques de ce forum. Il est très bien écrit)

Cordialement

[invité576543]

Ce qui me turlupine est que, pour que ce principe fonctionne, à un certain point, la suite parallèle doit "retomber" dans le domaine fini.
Comprends-tu mieux ce que je ne comprends pas ?

C'est vrai que ce n'est pas du tout évident.

Maintenant, si tu as une suite d'ordinaux strictement décroissante et dont une valeur est ω, la valeur suivante ne peut être qu'un entier, non?

Dans la démo sur la suite de Goodstein, la décroissance ne se fait pas par sauts de -1 ou même entiers, mais par sauts quelconques. Simplement, il y a un saut infini à un moment, et c'est cette notion de décroissance par un saut de taille infinie qui est troublante. (A l'instar de nombre de choses impliquant l'infini en mathématiques...)

En espérant que cela aide.

Cordialement,

[jpu017]

C'est vrai que ce n'est pas du tout évident.

Maintenant, si tu as une suite d'ordinaux strictement décroissante et dont une valeur est ω, la valeur suivante ne peut être qu'un entier, non?

Dans la démo sur la suite de Goodstein, la décroissance ne se fait pas par sauts de -1 ou même entiers, mais par sauts quelconques. Simplement, il y a un saut infini à un moment, et c'est cette notion de décroissance par un saut de taille infinie qui est troublante. (A l'instar de nombre de choses impliquant l'infini en mathématiques...)

En espérant que cela aide.

Cordialement,

Tu n'as pas complètement soulagé mon angoisse, mais permis de mieux cerner ce à quoi il faut que je m'acclimate : cette sorte de "passage à la limite dans l'autre sens"... Brrr.
... Ce qui est déjà un progrès...
Je continue à remâcher tout ça, merci de ton aide.
Cdlt

[jpu017]

Salut!
Je ne suis pas sûr de comprendre la question mais IN est inclus dans l'ensemble des ordinaux. Donc il n'est pas incohérent qu'une suite décroissante d'ordinaux prennent des valeurs entières au bout d'un certain temps

Oui... Comme je l'écris par ailleurs à mmy, tout ça me permet seulement de préciser ce qui me choque... C'est le sentiment qu'on passe en quelque sorte (tout est dans le "en quelque sorte"...) continûment des très grands entiers à , et vice-versa. Dans ma cervelle, il devrait plutôt y avoir une rupture. Tous les entiers peuvent être vus comme des ordinaux, certes, mais les ordinaux transfinis ne sont pas, ne sont plus, des entiers, si ?
Mmh...

(si tu ne l'as pas encore fait, je te conseille de regarder le cours de Dehornoy sur les ordinaux dans la bibliothèque des mathématiques de ce forum. Il est très bien écrit)
Cordialement

Je suis allé y voir, superbe bibliothèque. Je connaissais déjà P.Dehornoy par certains de ses articles de vulgarisation. Je vais donc creuser ces textes-ci, mais ça va me demander une attention soutenue...
Merci du tuyau, en tous cas.
Cdlt