Terminologie alternative à R

[invité576543]

Bonjour,

Je reprend ma quête sur des fondements aux variétés, et je butte continuellement sur ce sempiternel ensemble des réels, qui apparaît partout sans toujours être "bien" défini (souvent trop défini).

Je trouve au moins quatre emplois à R (dans mes lectures variées), et j'essaye de trouver une terminologie permettant de distinguer ces diverses acceptions.

R peut être :

- un corps ordonné etc., c'est à dire une structure algébrique, avec deux opérations, un ordre, une topologie, une métrique, ...

- un groupe de Lie (commutatif, pour l'addition)

- un espace euclidien: une ligne avec une topologie et une métrique

- une ligne: avec une topologie mais sans métrique

(Et je passe d'autres cas comme espace vectoriel sur lui-même, ou espace affine sur lui-même...)

La seule terminologie alternative que j'ai trouvée est E(1) ou E¹, pour l'espace euclidien de dimension 1 (la droite de la géométrie euclidienne). (Et l'usage en est limité, on voit souvent R² en lieu et place de E²...)

Mais par exemple je ne trouve rien pour parler du groupe abstrait dont les translations de E(1) serait une instance, à l'instar de la distinction entre U(1) [un groupe de Lie que l'on peut comprendre comme abstrait] et S¹ [un espace topologique].

Autre difficulté, si R n'a que l'identité comme automorphisme respectant toutes ses propriétés, la "ligne" comporte un vaste ensemble d'homéomorphismes. Si je prends g un homéomorphisme entre une "ligne" et R, alors toute fonction f continue bijective de R vers R induit un autohoméomorphisme g^-1fg sur la "ligne".

Il serait bien d'avoir un terme particulier pour parler de la "ligne", le machin ayant pour groupe d'autohoméomorphismes tous les g^-1fg. Ca paraît plus clair de dire par exemple que S¹ privé d'un point est homéomorphe à une ligne que dire que c'est homéomorphe à R (même si le second n'est pas faux).

Bref...

Quelqu'un aurait-il une idée d'une terminologie et d'une notation, même peu usitée (ou même carrément suggérée), autre que R, pour désigner:

1) Le groupe des translations de l'espace euclidien à une dimension (pour se mettre dans la même collection que U(1), SO(3) et consorts)

2) La bête ligne topologique, sans métrique (pour se mettre dans la même collection que Sⁿ par exemple)

L'idée étant alors de réserver R pour le corps, dans la collection avec C ou H

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Autre point, accessoire : est-ce moi qui pinaille beaucoup trop sur le choix des termes, ou la plupart des auteurs qui sont un peu trop laxistes?

Cordialement,
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[invité576543]

Bonjour,

Je poursuis mes petites réflexions. J'en arrive à la terminologie (de mon cru, puisque je ne trouve rien par ailleurs) suivante :

Ligne, noté L : espace muni d'une topologie, séparé, localement compact, connexe, et tel que pour tout élément x, L-{x} a exactement deux composantes connexes. (Avec un peu de chance, ils sont tous homéomorphes entre eux; petit risque sur le cardinal, auquel cas on peut imposer en plus que le cardinal est celui des parties de N.)

Groupe de translations, noté T : groupe de Lie homéomorphe à L (je pense qu'ils sont tous isomorphes entre eux, mais je n'en suis pas sûr; autre difficulté, est-ce que groupe de Lie est bien définissable sans référence à R?).

La droite (pas de notation) : une ligne L associée à une action par T en faisant un espace homogène principal pour T. (Comme il existe toujours au moins une telle action, toute ligne est potentiellement une droite, suffit de choisir le groupe...)

Les réels, noté R : le groupe T enrichi d'une multiplication, que l'on peut définir (il me semble) à partir du groupe des automorphismes de T. (Ce qui amène une construction purement par la topologie et les groupes.)

Question : Où trouver un texte introduisant ces notions, ou très similaire, et leur donnant un nom, et si possible démontrant ce qu'il y a à démontrer?

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Quel intérêt me direz-vous? Ben, ça m'agace de voir R partout, et surtout là où il me semble qu'on pourrait le remplacer par L ou T, en choisissant la notion minimale pour chaque emploi précis.

Par exemple, il me semble (mais c'est à confirmer) que dans la définition d'une variété on peut dire "localement homéomorphe à Lⁿ". En particulier, en physique (ce qui m'intéresse vraiment), l'espace-temps de la relativité générale est localement homéomorphe à L⁴, présentation qui a le bon goût de ne pas évoquer une quelconque indexation, et de questionner immédiatement tout choix de structure supplémentaire.

En topologie, la connexité par arc (par exemple) peut se définir par l'existence d'un chemin homéomorphe à un intervalle de L (la notion d'intervalle se définit à partir des propriétés), et si on veut l'indexer on peut le faire par une action de T, action choisie arbitrairement.

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Ca m'intéresserait de savoir si tout cela fait sens.

Même si je ne vois pas la possibilité d'une révolution dans la manière d'écrire les textes de topologie, ça m'amènerait à ce que je construise ma vision sur ces bases, et que je les présente comme telles là où ça m'arrive d'expliquer les bases topologiques de la physique.

Cordialement,

[invite986312212]

Ligne, noté L : espace muni d'une topologie, séparé, localement compact, connexe, et tel que pour tout élément x, L-{x} a exactement deux composantes connexes.

est-ce qu'un arbre n'a pas ces propriétés?

[invité576543]

est-ce qu'un arbre n'a pas ces propriétés?

S'il y a un "vrai" noeud, si on l'enlève cela fait 3 composantes connexes, non?

Mais je ne suis pas sûr de ce que tu appelles un arbre...

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

tu as raison...

autrement, selon Poincaré, la mathématique est l'art de donner le même nom à des choses différentes. Ta démarche va donc un peu à contre courant de celle des mathématiciens (du moins selon Poincaré)

[invité576543]

autrement, selon Poincaré, la mathématique est l'art de donner le même nom à des choses différentes. Ta démarche va donc un peu à contre courant de celle des mathématiciens (du moins selon Poincaré)

Je me suis mal fait comprendre alors!

Pour moi la mathématique permet de fédérer sous un même nom des choses qui partagent une même structure, ou une même méta-structure (nom de catégorie par exemple). Je ne pense pas que Poincaré ait voulu dire autre chose.

Pour moi le cas du terme R est n'est pas un cas licite de "même nom". Il y a trois structures distinctes. Pour moi utiliser "R" à la fois pour ce que j'appelle T et R (*) est un abus équivalent à utiliser "C" aussi bien le corps C et pour l'espace vectoriel R². Penses-tu qu'un tel usage de "C" serait conforme à ce qu'a voulu dire Poincaré?

Cordialement,

(*) On voit d'ailleurs le besoin d'un terme alternatif dans des écritures genre (R, +). Mais cette écriture cache le fait qu'on peut avoir un groupe isomorphe à (R, +) sans qu'aucune multiplication ne soit définie, donc sans isomorphisme avec R.

[invite986312212]

(...). Mais cette écriture cache le fait qu'on peut avoir un groupe isomorphe à (R, +) sans qu'aucune multiplication ne soit définie, donc sans isomorphisme avec R.

les groupes additifs (R,+) et (C,+) sont isomorphes. Ce qui montre que l'on peut définir plusieurs multiplications compatibles avec une même structure de groupe additif. Et donc la multiplication dans un coprs n'est pas en général un simple "résumé" de l'addition, comme c'est le cas dans Z.

Ca suggère aussi qu'il peut y avoir de bonnes raisons de parler de R, et non d'un groupe abstrait isomorphe à (R,+).

[invite9cf21bce]

Bonjour,

Je poursuis mes petites réflexions. J'en arrive à la terminologie (de mon cru, puisque je ne trouve rien par ailleurs) suivante :

Ligne, noté L : espace muni d'une topologie, séparé, localement compact, connexe, et tel que pour tout élément x, L-{x} a exactement deux composantes connexes. (Avec un peu de chance, ils sont tous homéomorphes entre eux; petit risque sur le cardinal, auquel cas on peut imposer en plus que le cardinal est celui des parties de N.)

[...]

Cordialement,

Bonjour

Il me semble après un peu de réflexion également que séparé + connexe + L-{x} a deux composantes connexes, ça revient à un ordre total dense sans extrêmité.

Que ce soit vrai ou non, considère R x R, muni de l'ordre lexicographique, et munis-le de la topologie pour laquelle les intervalles ouverts forment une base d'ouverts. Je pense qu'il a toutes les propriétés que tu cites (même la compacité locale). Cela reste à vérifier rigoureusement.
Je pense également qu'il n'est pas homéomorphe à R. Car il n'y a que deux ordres stricts qui correspondent à la topologie, à savoir l'ordre lexico et l'ordre inverse. Et aucun d'entre eux ne vérifie la propriété de la borne supérieure.

Tout cela pour dire que de mon point de vue, la ligne L pourrait alternativement être définie en termes d'ordre total dense sans extrêmité + propriété de la borne supérieure + propriété de la borne inférieure, et qu'on y gagnerait probablement au change.

Reste :

• à vérifier ce que je balance (j'ai réussi à montrer qu'il existe un ordre dans ta ligne L et je n'ai pas vraiment cherché plus loin)
• à voir si oui ou non cela suffit à caractériser L

Je sais, cela ne répond pas vraiment à ton problème de terminologie, mais "ordre total dense sans extrêmité vérifiant la propriété de la borne supérieure et de la borne inférieure", ça pourrait orienter tes recherches.

Cordialement
Taar

[invite9cf21bce]

@Taar : extrémité, pas extrêmité

Après une petite recherche sur Internet, je viens d'ailleurs de trouver ceci :

Soit E muni d'un ordre dense sans extrémité, vérifiant la propriété de la borne supérieure et de la borne inférieure, et incluant une partie X dénombrable dense.
Alors il existe un isomorphisme (d'ordre) de E sur qui envoie X sur .

Taar.

[invité576543]

les groupes additifs (R,+) et (C,+) sont isomorphes.

R² plutôt que R, non?

Ce qui montre que l'on peut définir plusieurs multiplications compatibles avec une même structure de groupe additif. Et donc la multiplication dans un coprs n'est pas en général un simple "résumé" de l'addition

Bien d'accord!

Ca suggère aussi qu'il peut y avoir de bonnes raisons de parler de R, et non d'un groupe abstrait isomorphe à (R,+).

Pour moi c'est le contraire. Pourquoi parler d'une multiplication (en citant R) alors qu'on ne veut parler que d'un groupe additif?

Pour être plus clair, voilà un exemple de texte qui me dérange:

Rⁿ: Euclidean space with addition

Le mot "Euclidean" me hérisse les cheveux; pour moi c'est dû à l'attraction "multiplicative" de R. En notant T, on ne pourrait pas mettre "Euclidien" (pas de multiplication => pas de norme).

Cordialement,

[invité576543]

Bonsoir

Et merci pour la réponse!

Il me semble après un peu de réflexion également que séparé + connexe + L-{x} a deux composantes connexes, ça revient à un ordre total dense sans extrêmité.

Ca implique un ordre total dense sans extrémité, oui. Mais je ne sais pas si l'ordre total suffit pour impliquer la connexité, cf plus loin.

Que ce soit vrai ou non, considère R x R, muni de l'ordre lexicographique, et munis-le de la topologie pour laquelle les intervalles ouverts forment une base d'ouverts.

Avec j'imagine la notion d'intervalle induite par l'ordre?

Je pense également qu'il n'est pas homéomorphe à R.
Car il n'y a que deux ordres stricts qui correspondent à la topologie, à savoir l'ordre lexico et l'ordre inverse. Et aucun d'entre eux ne vérifie la propriété de la borne supérieure.

Intéressant. Mais est-ce que c'est connexe pour cette topologie? Je ne pense pas que c'est connexe par arc, mais la connexité simple est déjà une bonne question.

(Il me semble que l'ordre lexicographique sur Z₂xR ou RxZ₂ ne donne pas un ensemble connexe pour la topologie induite par l'ordre; je me dis que RxR n'est qu'un cas plus compliqué de la même chose...)

Cordialement,

[invité576543]

Intéressant. Mais est-ce que c'est connexe pour cette topologie?

Je précise la question : est-ce que le sous-ensemble (0, R) n'est pas à la fois ouvert et fermé? Ou plus précisément, est-ce qu'il n'est pas ouvert? (Auquel cas, est une union disjointe d'ouverts...)

Cordialement,

[invité576543]

Bonsoir,

Le message de Taar m'a donné quelques pistes, et j'ai trouvé http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_continuum

Ils donnent un possible? contre-exemple un peu différent, qui est [0,1]x[0,1] muni de l'ordre lexicographique. Ca à l'air connexe. Mais ça pourrait être homéomorphe à R.

Mais un peu plus plus ils indique la "long-line", qui semble bien être un contre-exemple. Et cela me donne une piste sur ma question de fond, la propriété rajoutée pour se restreindre à la "ligne courte" semple être "séparable".

Cordialement,

[invite9cf21bce]

Je précise la question : est-ce que le sous-ensemble (0, R) n'est pas à la fois ouvert et fermé? Ou plus précisément, est-ce qu'il n'est pas ouvert? (Auquel cas, est une union disjointe d'ouverts...)

Cordialement,

Oui, tu as raison sur toute la ligne (jeu de mots hasardeux). Mais pour ne pas faire mourir mon exemple, je propose R x [0;1[, dans lequel l'ordre lexico ne vérifie pas la propriété de la borne inférieure (penser à l'ensemble des (x,0) avec x>0), et l'ordre inverse ne vérifie pas la propriété de la borne supérieure. Reste à vérifier les propriétés que tu citais.

Ceci n'empêche pas le théorème dont je parlais dans mon deuxième message, qui caractérise R en des mêmes termes proches des tiens (séparabilité d'une part, partie dénombrable dense d'autre part).

Content si j'ai quand même pu rendre un peu service.

Taar

[invité576543]

Bonjour,

Ceci n'empêche pas le théorème dont je parlais dans mon deuxième message, qui caractérise R en des mêmes termes proches des tiens (séparabilité d'une part, partie dénombrable dense d'autre part).

Ca a l'air effectivement plus dans l'esprit mathématique de passer par un ordre.

Ca me gène quand même un peu, mais faudrait que j'explique mieux la question de fond pour voir pourquoi. Je cherche comment définir la "ligne réelle" avec le moins de choix arbitraire possible, ma question étant plus physique que mathématique : je voudrais trouver une expression de l'espace-temps minimale, sans choix dans la définition. Ca donnerait "localement homéomorphe à L⁴" (et encore, c'est peut-être encore trop...).

Avec l'ordre il reste un choix arbitraire : un choix binaire sur la direction de l'ordre. (Choix dont on n'a pas besoin pour le groupe des translations non plus.)

Avec l'approche L-{x} a exactement deux parties connexes, on garde la symétrie des directions. Ca permet de définir un "quasi-ordre" (qu'on pourrait vraisemblablement axiomatiser), la relation ternaire "z est entre x et y", définie comme suit : si x différent de y, "z est entre x et y" ssi " x et y sont dans des parties connexes différentes de L-{z}".

Bon... En rajoutant "à base dénombrable", on devrait y être. Il reste quand même [0,1]x[0,1] avec l'ordre lexicographique, dont il faudrait montrer s'il est ou non homéomorphe à la ligne réelle.

A part ça, du point de vue terminologie, ça me donne "ligne réelle" (pour L), "droite réelle" pour l'espace homogène principal pour T et "corps réel" (pour R). Il manque un terme pour le groupe des translations (R additif), la distinction entre T et l'espace homogène principal me semblant essentielle.

Content si j'ai quand même pu rendre un peu service.

Cordialement,

[Médiat]

"corps réel" (pour R).

Je doute que ce post serve à quelque chose, mais "corps réel" a un autre sens en théorie des corps et désigne des corps n'ayant que de lointain rapports avec IR (y compris des corps dénombrables non archimédiens), "corps des réels" serait sans ambiguité, mais je suppose que cela ne te convient pas.

[invité576543]

"corps des réels" serait sans ambiguité, mais je suppose que cela ne te convient pas.

Si, et c'est mieux.

Cordialement,

[invite986312212]

R² plutôt que R, non?

non, c'est bien (R,+). Encore une bizarrerie qui se démontre à l'aide de l'axiome du choix.

[invité576543]

les groupes additifs (R,+) et (C,+) sont isomorphes.

Alors je reviens là-dessus parce que j'aimerais bien comprendre.

Déjà pour moi ils ne peuvent pas être isomorphes en tant que groupes de Lie (dimensions 1 et 2), et je me demande s'ils peuvent être isomorphes en tant que groupes topologiques.

Isomorphes seulement pour la seule structure de groupe alors?

Cordialement,

[invite986312212]

oui bien sûr, comme groupes. Cet isomorphisme n'est pas un homéomorphisme, ni même continu je pense, pour les topologies usuelles. C'est pourquoi, à mon humble avis, il peut être nécessaire de faire intervenir R dans certaines constructions, même si à première vue, seule la structure de groupe additif importe.

pour la preuve de l'existence d'un isomorphisme de groupes entre (R,+) et (C,+), on commence par considérer ces deux groupes comme des Q-espaces vectoriels. L'axiome du choix garantit l'existence de bases et un argument de cardinalité prouve que ces bases ont le même cardinal, et donc que les espaces vectoriels son isomorphes, et donc les groupes sous-jacents.

[invité576543]

[QUOTE=ambrosio;1856926]oui bien sûr, comme groupes. Cet isomorphisme n'est pas un homéomorphisme, ni même continu je pense, pour les topologies usuelles. C'est pourquoi, à mon humble avis, il peut être nécessaire de faire intervenir R dans certaines constructions, même si à première vue, seule la structure de groupe additif importe.[\QUOTE]

Je suis bien d'accord, mais mon idée est de définir T comme un groupe de Lie (c'est indiqué comme tel dans mon message), ce qui résout l'ambiguïté.

Mon idée n'est pas de "ne pas faire intervenir R", mais de faire intervenir une "sous-structure de R". Dans le cas de T, ça vire la multiplication (c'est à dire le choix d'un "1" dans T : n'importe quel élément de T peut être choisi pour "1", le choix est arbitraire, type "choix de jauge" en physique); et incidemment ça vire le choix de la direction de l'ordre (qui est un sous-produit du choix de la multiplication, le choix du "1" impose l'ordre; mais on peut choisir la direction de l'ordre sans choisir la multiplication).

Ma réflexion vient de la physique, de la RG en particulier: à réfléchir sur le sujet je trouve de plus en plus anti-pédagogique de partir de définitions avec R ou Rⁿ, puis de dire après que tels ou tels choix (métriques, connexions, unités, directions, ...) sont arbitraires. Ca paraît meilleure comme approche conceptuelle de partir du minimum de structure et d'expliquer pourquoi on ajoute des superstructures avec des paramètres arbitrairement choisis.

Historiquement, le besoin de R comme corps est apparu avant les espaces de Riemann, d'où la construction de R par l'algèbre suivi par la topologie, plutôt que la construction par la topologie suivi de l'algèbre. Mais il me semble que pour l'application aux variétés pas plates, la topologie doit venir en premier.

pour la preuve de l'existence d'un isomorphisme de groupes entre (R,+) et (C,+), on commence par considérer ces deux groupes comme des Q-espaces vectoriels. L'axiome du choix garantit l'existence de bases et un argument de cardinalité prouve que ces bases ont le même cardinal, et donc que les espaces vectoriels son isomorphes, et donc les groupes sous-jacents.

Clear enough!

Cordialement,