Mutiplicateurs de Lagrange

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aurais besoin de quelques précisions sur les multiplicateurs de Lagrange.

Tout d'abord j'aimerais savoir si une fonction f(x, y) admettait, sous une contrainte g(x, y) = k, un extremum (a, b) si et seulement si (a, b) était solution de l'équation .

Ensuite, j'ai un problème sur un certain raisonnement :

On considère une surface S d'équation z=f(x,y), ainsi qu'une courbe quelconque C, d'équation vectorielle , tracée sur S et passant par le point P(x₀, y₀), posé par hypothèse comme un extrême de f.
On pose la fonction h(t)=f(x(t),y(t)), qui atteind une valeur extrême en t₀, en posant . On a donc
Ensuite, si j'ai bien compris, la courbe C représente une courbe de niveau de la fonction g de la contrainte g(x, y)=k, donc on sait .

On peut donc finalement poser , et c'est ici que je ne comprends pas, car, même si les deux vecteurs gradient sont bien orthogonaux à un même vecteur, cela ne prouve pas qu'ils soient colinéaires, étant en trois dimensions, non ?

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance
Phys2

P.S : Si le raisonnement parait douteux, il est possible que ce soit une erreur de retranscription, l'ayant ramené pour des fonctions de deux variables au lieu de trois.
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[Seirios]

Vraiment personne ? (juste histoire d'être sûr )

[invitec9750284]

Salut,

Question 1)

Oui c'est l'idée de la méthode de poser une fonction auxiliaire où f : (x,y,z,... ) -> f(x,y,z,...) est une fonction de R^n vers R et g(x,y,z,...)=k une contrainte.
En effet <=>

Question 2)

La définition de la colinéarité de 2 vecteurs de R^n est ni plus ni moins

[Seirios]

Question 1)

Oui c'est l'idée de la méthode de poser une fonction auxiliaire où f : (x,y,z,... ) -> f(x,y,z,...) est une fonction de R^n vers R et g(x,y,z,...)=k une contrainte.
En effet <=>

Mais qu'est-ce que cela implique que ?

Question 2)

La définition de la colinéarité de 2 vecteurs de R^n est ni plus ni moins

Oui, mais ce qui me pose problème, c'est justement qu'ils peuvent ne pas être colinéaires, car bien qu'ils soient orthogonaux à une même droite, le faite que l'on se place dans un espace à trois dimensions n'implique pas forcéement que les vecteurs soient colinéaires.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Il faut lire dans me première question (j'avais oublié le symbole sur le vecteur nul)

[invitec9750284]

De quelle droite parles-tu ? Car je ne vois que surface et courbes de niveau...
De plus,par l'équation , les vecteurs et seront toujours colinéaires si l'on trouve un différent de 0, que cela soit à 1, 2, 3, ... n dimensions.

[Seirios]

De quelle droite parles-tu ? Car je ne vois que surface et courbes de niveau...

Oui, effectivement ; je voulais parler de .

De plus,par l'équation , les vecteurs et seront toujours colinéaires si l'on trouve un différent de 0, que cela soit à 1, 2, 3, ... n dimensions.

Oui mais ce n'est pas le raisonnement que je suis ici, il s'agit d'arriver à cette équation. Ce qui me pose problème, c'est que dans ce raisonnement, on dise que (donc que les deux gradients soient orthogonaux à un même vecteur) implique que les gradients soient colinéaires, or selon moi, cette implication n'a aucun sens dans un espace à trois dimensions.

[invitec9750284]

Ah bon ? Pourquoi cela n'a aucun sens ?

[invitec317278e]

Parce que (0,0,1) est orthogonal à (1,0,0) et à (0,1,0), mais ces deux derniers vecteurs ne sont pas colinéaires.

[invitec9750284]

Ah ouaip j'avais pas pensé à eux !

[Seirios]

Donc le raisonnement est bien incorrect, ou tout du moins incomplet, non ?

[invitec9750284]

Oui il doit être incorrect ou tout du moins incomplet. Peut on avoir une source?