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Mutiplicateurs de Lagrange



  1. #1
    Seirios

    Mutiplicateurs de Lagrange


    ------

    Bonjour à tous,

    J'aurais besoin de quelques précisions sur les multiplicateurs de Lagrange.

    Tout d'abord j'aimerais savoir si une fonction f(x, y) admettait, sous une contrainte g(x, y) = k, un extremum (a, b) si et seulement si (a, b) était solution de l'équation .

    Ensuite, j'ai un problème sur un certain raisonnement :

    On considère une surface S d'équation z=f(x,y), ainsi qu'une courbe quelconque C, d'équation vectorielle , tracée sur S et passant par le point P(x0, y0), posé par hypothèse comme un extrême de f.
    On pose la fonction h(t)=f(x(t),y(t)), qui atteind une valeur extrême en t0, en posant . On a donc
    Ensuite, si j'ai bien compris, la courbe C représente une courbe de niveau de la fonction g de la contrainte g(x, y)=k, donc on sait .

    On peut donc finalement poser , et c'est ici que je ne comprends pas, car, même si les deux vecteurs gradient sont bien orthogonaux à un même vecteur, cela ne prouve pas qu'ils soient colinéaires, étant en trois dimensions, non ?

    Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

    Merci d'avance
    Phys2

    P.S : Si le raisonnement parait douteux, il est possible que ce soit une erreur de retranscription, l'ayant ramené pour des fonctions de deux variables au lieu de trois.

    -----
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  2. Publicité
  3. #2
    Seirios

    Re : Mutiplicateurs de Lagrange

    Vraiment personne ? (juste histoire d'être sûr )
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #3
    The Artist

    Re : Mutiplicateurs de Lagrange

    Salut,

    Question 1)

    Oui c'est l'idée de la méthode de poser une fonction auxiliaire où f : (x,y,z,... ) -> f(x,y,z,...) est une fonction de R^n vers R et g(x,y,z,...)=k une contrainte.
    En effet <=>

    Question 2)

    La définition de la colinéarité de 2 vecteurs de R^n est ni plus ni moins
    On m'disait, j'veux être artiste, tu t'prends pour qui ? Oublie oublie !!!

  5. #4
    Seirios

    Re : Mutiplicateurs de Lagrange

    Citation Envoyé par The Artist Voir le message
    Question 1)

    Oui c'est l'idée de la méthode de poser une fonction auxiliaire où f : (x,y,z,... ) -> f(x,y,z,...) est une fonction de R^n vers R et g(x,y,z,...)=k une contrainte.
    En effet <=>
    Mais qu'est-ce que cela implique que ?

    Question 2)

    La définition de la colinéarité de 2 vecteurs de R^n est ni plus ni moins
    Oui, mais ce qui me pose problème, c'est justement qu'ils peuvent ne pas être colinéaires, car bien qu'ils soient orthogonaux à une même droite, le faite que l'on se place dans un espace à trois dimensions n'implique pas forcéement que les vecteurs soient colinéaires.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Seirios

    Re : Mutiplicateurs de Lagrange

    Il faut lire dans me première question (j'avais oublié le symbole sur le vecteur nul)
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  8. #6
    The Artist

    Re : Mutiplicateurs de Lagrange

    De quelle droite parles-tu ? Car je ne vois que surface et courbes de niveau...
    De plus,par l'équation , les vecteurs et seront toujours colinéaires si l'on trouve un différent de 0, que cela soit à 1, 2, 3, ... n dimensions.
    On m'disait, j'veux être artiste, tu t'prends pour qui ? Oublie oublie !!!

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  10. #7
    Seirios

    Re : Mutiplicateurs de Lagrange

    Citation Envoyé par The Artist Voir le message
    De quelle droite parles-tu ? Car je ne vois que surface et courbes de niveau...
    Oui, effectivement ; je voulais parler de .

    De plus,par l'équation , les vecteurs et seront toujours colinéaires si l'on trouve un différent de 0, que cela soit à 1, 2, 3, ... n dimensions.
    Oui mais ce n'est pas le raisonnement que je suis ici, il s'agit d'arriver à cette équation. Ce qui me pose problème, c'est que dans ce raisonnement, on dise que (donc que les deux gradients soient orthogonaux à un même vecteur) implique que les gradients soient colinéaires, or selon moi, cette implication n'a aucun sens dans un espace à trois dimensions.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  11. #8
    The Artist

    Re : Mutiplicateurs de Lagrange

    Ah bon ? Pourquoi cela n'a aucun sens ?
    On m'disait, j'veux être artiste, tu t'prends pour qui ? Oublie oublie !!!

  12. #9
    Thorin

    Re : Mutiplicateurs de Lagrange

    Parce que (0,0,1) est orthogonal à (1,0,0) et à (0,1,0), mais ces deux derniers vecteurs ne sont pas colinéaires.

  13. #10
    The Artist

    Re : Mutiplicateurs de Lagrange

    Ah ouaip j'avais pas pensé à eux !
    On m'disait, j'veux être artiste, tu t'prends pour qui ? Oublie oublie !!!

  14. #11
    Seirios

    Re : Mutiplicateurs de Lagrange

    Donc le raisonnement est bien incorrect, ou tout du moins incomplet, non ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  15. #12
    The Artist

    Re : Mutiplicateurs de Lagrange

    Oui il doit être incorrect ou tout du moins incomplet. Peut on avoir une source?
    On m'disait, j'veux être artiste, tu t'prends pour qui ? Oublie oublie !!!

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