sev euclidien dim fini et endomorphisme symétrique defini positif

invitef7cb9c5c · 02/12/2012, 00h31

Bonsoir,
voilà un espace euclidien donc normé (E, <.,.>) où S(E) est l'enseble des endomorphismes symétriques et Sp(E) celui des endomorphismes symétriques definis positifs.
On est en dim fini.
Donc S(E) est fermé mais pourquoi Sp(E) est un ouvert de S(E)? mais est-il un fermé de E?
merci
fifrelette

**Seirios** · 02/12/2012, 00h54

Bonsoir,

Il te faut montrer que si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ suffisamment petit, alors $\text{[math]}$ . Pour cela, tu peux écrire $\text{[math]}$ .

invitef7cb9c5c · 02/12/2012, 01h20

bonsoir,
merci pour ton aide, mais je ne comprends pas ce que tu essaie de m'expliquer; pourrai-tu détailler ton raisonnement, s'il te plait?
fifrelette

**Seirios** · 02/12/2012, 10h16

Pour toi, quelle est la définition d'un ouvert ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitef7cb9c5c · 02/12/2012, 10h54

bonjour,
un ouvert O: pour tout x de O, on peut trouver une boule ouverte B(x, r) incluse dans O

fifrelette

**Seirios** · 02/12/2012, 11h25

Par définition, tu dois donc te donner un $\text{[math]}$ puis trouver un $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ implique $\text{[math]}$ , c'est la traduction de ce qu'est un ouvert au cas de $\text{[math]}$ . Or $\text{[math]}$ veut dire que pour tout vecteur $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Je te conseille donc d'écrire $\text{[math]}$ et de trouver un r suffisamment petit pour que cette expression soit strictement positive.

invitef7cb9c5c · 02/12/2012, 12h47

bonjour,
merci pour les explications.
alors j'essaie de montrer que <x, (B-A)x>+ (x,Ax)>0
par definition (x,Ax)>0 ou (x,Ax)=0 si x=0
ensuite je bloque
fifrelette

**gg0** · 02/12/2012, 13h11

Tu n'as pas encore utilisé ce qu'est B. Relis l'explication de Seirios.

Cordialement.

invitef7cb9c5c · 02/12/2012, 13h16

B est symétrique c'est-à-dire ^tB=B
et je cherche r tel que llA-Bll<r avec r tel que B soit symétrique def positive donc ^txBX>0
... après...???

invitef7cb9c5c · 02/12/2012, 21h17

je crois qu'il me manque le lien : égalité ou inégalité (s'il existe) entre llA-Bll et <x, (B-A)x>
je continue de chercher

fifrelette

**Seirios** · 03/12/2012, 00h07

Tu as $\text{[math]}$ ; la première inégalité vient de Cauchy-Schwartz, et la seconde de la définition de la norme sur les opérateurs.

invitef7cb9c5c · 03/12/2012, 13h50

Bonjour Seirios

maintenant je sais que ^txAx= <x,Ax>
et l<x,Ax>l<= llxll.llAxll<=llxll²llAll
ce que je ne savais pas

alors pour que ^txBx>0, il faut que <x,AX>+<x,(B-A)X>>0
et comme l<x,AX>+<x,(B-A)X>l<= (llB-All+llAll)llXll²
je crois qu'il me reste à trouver r afin que llB-All+llAll>0 mais là je vois pas bien ce qu'est r: est-ce le rayon d'une boule ou seulement une valeur...??? ou j'ai encore un truc qui cloche

fifrelette

**Seirios** · 03/12/2012, 16h12

Tu pars dans le mauvais sens : il faut chercher à minorer $\text{[math]}$ par quelque chose de strictement positif, alors que tu le majores. Il faut simplement utiliser ce que tu sais : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . À partir de là, tu dois trouver un r qui te permette de montrer que $\text{[math]}$ pour tout vecteur X.

invitef7cb9c5c · 03/12/2012, 16h57

tes explications sont claires,
il faut trouver r tel que llB-All<r, donc il s'agit bien de minorer mais je ne vois pas en quoi ensuite ça me permettra de prouver que
<x,Ax>+<x,(B-a)x> >0
je suis désolée d'être aussi peu vive à comprendre le raisonement
merci pour ton aide et ta patience
fifrelette

invitef7cb9c5c · 03/12/2012, 17h03

Peut-être que si llB-All<epsilon avec epsilon qui tend vers 0
alors <x,(B-A)x> tend vers 0 et <x,AX>+<x,(B-A)x> tend vers <x,Ax> qui est def positif et donc <x,AX>+<x,(B-A)x>est aussi positif et donc aussi <x,Bx> positif et on conclut que Best dans SP(E) CQFD pour montrer que SP(E) est un ouvert de S(E)
est-ce que c'est ça?
fifrelette

**Seirios** · 03/12/2012, 17h21

C'est bien ça l'idée ; les indications que je t'ai données servaient à t'aider à le rédiger proprement.

invitef7cb9c5c · 03/12/2012, 19h34

ah!!! j'ai donc un peu compris! Est-ce que ma façon d'expliquer convient?
sinon pourquoi une application w-->w_ow est un difféomorphisme de Sp(E)
parce que je vois vraiment pas pourquoi, alors si tu peux me donner une piste
merci encore
fifrelette

**Seirios** · 03/12/2012, 22h34

ah!!! j'ai donc un peu compris! Est-ce que ma façon d'expliquer convient?

C'est tout à fait l'idée, il faut simplement le rédiger proprement, en remettant les arguments dans l'ordre.

sinon pourquoi une application w-->wow est un difféomorphisme de Sp(E)
parce que je vois vraiment pas pourquoi, alors si tu peux me donner une piste

Reprend la définition de difféomorphisme, et prend les hypothèses une par une. Où bloques-tu ?

invitef7cb9c5c · 03/12/2012, 23h01

f une application d'un ouvert u sur un autre v si
f est bijective
f est différentiable sur u et f^-1 différentiable sur v

donc il faut que l'application w--> W°W de SP(E) dans lui-même donc on a bien les 2 ouverts
est-ce qu'elle est bijective? si son jacobien est non nul, elle est bijective ou il faut vérifier qu'elle est injective et surjective
et comment montrer qu'elle est différentiable
et je ne vois pas à quoi ressemble son application réciproque??

voilà ce que j'essaierai de montrer....

merci pour les rappels de base de reprendre les définitions avant de paniquer devant un énoncé

fifrelette

**Seirios** · 03/12/2012, 23h40

Une petite précisions sur les notations : l'application considérer est bien $\text{[math]}$ (où $\text{[math]}$ correspond à la composition) ?

invitef7cb9c5c · 04/12/2012, 09h57

bonjour Seirios,
oui , il s'agit bien de la composition , pardon pour le manque de précision dans ma notation
fifrelette

**Seirios** · 04/12/2012, 10h54

Déjà, tu peux calculer explicitement la différentielle de f. Une autre méthode est d'utiliser le langage des matrices et de dire que f (qui est alors le passage au carré des matrices) est $\text{[math]}$ puisque ses fonctions coordonnées sont polynomiales. Pour les problèmes de réciprocité, il te faut montrer que la notion de racine carrée a un sens pour les matrices symétriques positives ; pour cela, tu peux te rappeler qu'une matrice symétrique positive est diagonalisable (dans une base orthogonale) et que ses valeurs propres sont positives.

invitef7cb9c5c · 04/12/2012, 15h48

J'ai justement bien du mal à utiliser le langage des matrices...
ici f est différentiable car de classe infini et sa réciproque avec le langage des matrives c'est la racine carré d'un matrice
il faut aussi montrer qu'elle est bijective..
je commence à me décourager, d'autant plus que j'ai essayé de rédiger la pourquoi B inclu dans SP(E) et je me demande encore pourquoi on a besoin de passer par la norme et que veut-dire llB-All<r, et quel r justement, je le prends où, je peux le poser comme suffisamment petit mais ça me semble léger...
par suite est-ce que llB-All=0 ou tend vers 0 et alors on a <Bx,x> tend vers <Ax,x>...

fifrelette qu'a la cervelle qui chauffe au lieu de fonctionner

**Seirios** · 04/12/2012, 16h46

ici f est différentiable car de classe infini et sa réciproque avec le langage des matrives c'est la racine carré d'un matrice
il faut aussi montrer qu'elle est bijective..

La bijection est évidente : par définition, la racine carrée est la réciproque de la fonction carrée. Ce qu'il faut montrer, c'est que la racine carrée est bien définie.

je commence à me décourager, d'autant plus que j'ai essayé de rédiger la pourquoi B inclu dans SP(E) et je me demande encore pourquoi on a besoin de passer par la norme et que veut-dire llB-All<r, et quel r justement, je le prends où, je peux le poser comme suffisamment petit mais ça me semble léger...
par suite est-ce que llB-All=0 ou tend vers 0 et alors on a <Bx,x> tend vers <Ax,x>...

Tu prends $\text{[math]}$ et tu considères une boule $\text{[math]}$ centrée en A et de rayon r quelconque (pour l'instant).

Tu prends $\text{[math]}$ . Alors pour tout vecteur unitaire x, $\text{[math]}$ . Or l'application quadratique $\text{[math]}$ est continue, donc elle atteint une valeur minimale $\text{[math]}$ sur la sphère unité (qui est compacte). Donc $\text{[math]}$ . Maintenant, $\text{[math]}$ .

Dès lors, je remarque que si je prends r de telle sorte que $\text{[math]}$ , alors j'en déduis que $\text{[math]}$ pour tout vecteur unitaire (ce qui s'étend facilement à tous les vecteurs, quelque soit leur norme), d'où $\text{[math]}$ . Finalement, pour un tel r, $\text{[math]}$ .

invitef7cb9c5c · 05/12/2012, 00h27

bonsoir Serios,
j'ai pris le temps de lire le détail de tes explications et je me rends compte que j'avais du mal à faire le lien entre
la représentation que je me fais de la boule B(A,r) qui appartient à S_p(E) et B qui est élèment de S_p(E)
à condition que r<m
et il fallait penser aussi que llB-All<r
et il me manquait aussi la notion que <Ax,x> atteint une valeur minimale m>0 sur la sphère unité d'où <Ax,x> >m
maintenant je crois que j'ai bien compris, même si je ne suis pas sûr de pouvoir comprendre un autre exercice du même type
Enfin j'ai déjà compris celui-là en détail
merci beaucoup pour tous ces éclaircissements
fifrelette

P.S: je vais pouvoir continuer la suite

invitef7cb9c5c · 05/12/2012, 01h12

En fait c'est ok pour la suite
il suffit de prendre la matrice de l'application : w--> w_ow et ensuite tout coule de source
en effet cette application donne le carré de la matrice etc...
merci
fifrelette

**Seirios** · 05/12/2012, 09h53

Tu étudies la matrice d'une application non linéaire ?

invitef7cb9c5c · 05/12/2012, 11h05

Bonjour,
On peut étudier que les matrices des applications LINEAIRES, et ici on ne sait pas si elle est linéaires, c'est ça le problème?
fifrelette

**Seirios** · 05/12/2012, 11h38

Le problème est que cela n'a pas de sens de parler d'une matrice d'une application linéaire. Qui plus est, $\text{[math]}$ n'est même pas un espace vectoriel, alors je ne vois pas comment tu as pu parler de matrice...

invitef7cb9c5c · 05/12/2012, 16h31

En effet, tu m'as écrit que je peux utiliser le LANGAGE des matrices et non pas les matrices
je pensais qu'on pourrait écrire w->w²=w'
et qu'un carré est toujours dans S_p(E) et qu'ensuite l'application réciproque en prenant w' dans S_p(E) on pouvait donc prendre la racine carré puisque w'>0
on obtient w dans S_p(E) w= (w')^1/2
mais en fait j'ai pas besoin des matrices...??
fifrelette

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