sev euclidien dim fini et endomorphisme symétrique defini positif

invitef7cb9c5c · 01/12/2012, 23h31

Bonsoir,
voilà un espace euclidien donc normé (E, <.,.>) où S(E) est l'enseble des endomorphismes symétriques et Sp(E) celui des endomorphismes symétriques definis positifs.
On est en dim fini.
Donc S(E) est fermé mais pourquoi Sp(E) est un ouvert de S(E)? mais est-il un fermé de E?
merci
fifrelette

**Seirios** · 01/12/2012, 23h54

Bonsoir,

Il te faut montrer que si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ suffisamment petit, alors $\text{[math]}$ . Pour cela, tu peux écrire $\text{[math]}$ .

invitef7cb9c5c · 02/12/2012, 00h20

bonsoir,
merci pour ton aide, mais je ne comprends pas ce que tu essaie de m'expliquer; pourrai-tu détailler ton raisonnement, s'il te plait?
fifrelette

**Seirios** · 02/12/2012, 09h16

Pour toi, quelle est la définition d'un ouvert ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitef7cb9c5c · 02/12/2012, 09h54

bonjour,
un ouvert O: pour tout x de O, on peut trouver une boule ouverte B(x, r) incluse dans O

fifrelette

**Seirios** · 02/12/2012, 10h25

Par définition, tu dois donc te donner un $\text{[math]}$ puis trouver un $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ implique $\text{[math]}$ , c'est la traduction de ce qu'est un ouvert au cas de $\text{[math]}$ . Or $\text{[math]}$ veut dire que pour tout vecteur $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Je te conseille donc d'écrire $\text{[math]}$ et de trouver un r suffisamment petit pour que cette expression soit strictement positive.

invitef7cb9c5c · 02/12/2012, 11h47

bonjour,
merci pour les explications.
alors j'essaie de montrer que <x, (B-A)x>+ (x,Ax)>0
par definition (x,Ax)>0 ou (x,Ax)=0 si x=0
ensuite je bloque
fifrelette

**gg0** · 02/12/2012, 12h11

Tu n'as pas encore utilisé ce qu'est B. Relis l'explication de Seirios.

Cordialement.

invitef7cb9c5c · 02/12/2012, 12h16

B est symétrique c'est-à-dire ^tB=B
et je cherche r tel que llA-Bll<r avec r tel que B soit symétrique def positive donc ^txBX>0
... après...???

invitef7cb9c5c · 02/12/2012, 20h17

je crois qu'il me manque le lien : égalité ou inégalité (s'il existe) entre llA-Bll et <x, (B-A)x>
je continue de chercher

fifrelette

**Seirios** · 02/12/2012, 23h07

Tu as $\text{[math]}$ ; la première inégalité vient de Cauchy-Schwartz, et la seconde de la définition de la norme sur les opérateurs.

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