Intégrale triple

invitec24be066 · 02/12/2012, 20h24

Bonjour,

Je dois calculer le volume de la région située à la fois à l'extérieur du cône z^2=x^2+y^2
et à l'intérieur de la sphère x^2+(y-2)^2+z^2=9.

J'ai de la difficulté à trouver mes bornes d'intégration et je tentais de résoudre en
coordonnées sphériques.

Merci

**breukin** · 03/12/2012, 14h59

Pour $\text{[math]}$ , il s'agit de trouver les points du disque $\text{[math]}$ qui ne sont pas du disque $\text{[math]}$ .
Il faut donc trouver l'intersection éventuelle de ces deux cercles.
Je pense que les coordonnées cartésiennes sont les plus appropriées, en fait.

**breukin** · 03/12/2012, 15h25

Je trouve que
- pour $\text{[math]}$ , le disque à exclure $\text{[math]}$ est entièrement inclus dans le disque à prendre en compte $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$
- pour $\text{[math]}$ , le disque à exclure $\text{[math]}$ est entièrement extérieur au disque à prendre en compte $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$

Entre les deux, il s'agit donc de calculer la surface du disque auquel on retire une entame circulaire.
Il y a symétrie selon l'axe des z.

Et bien sûr $\text{[math]}$

invitec24be066 · 03/12/2012, 20h31

Bonjour,

Je comprends mieux mais je n'arrive pas à trouver $\text{[math]}$ c'est le point d'intersection du cône et de la sphère?

J'essayais avec 0<z<3

merci

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**breukin** · 03/12/2012, 20h58

Non, c'est le $\text{[math]}$ tel que le cercle de rayon $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ (intersection du cône avec le plan d'altitude $\text{[math]}$ ) soit tangeant (à l'intérieur) avec le cercle de rayon $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ (intersection de la sphère avec le plan d'altitude $\text{[math]}$ ).

Pour comprendre ce qui se passe :
Prenez $\text{[math]}$ et dessinez les deux cercles intersections du cône et de la sphère avec le plan d'altitude $\text{[math]}$ .
Prenez $\text{[math]}$ et dessinez les deux cercles intersections du cône et de la sphère avec le plan d'altitude $\text{[math]}$ .
Prenez $\text{[math]}$ et dessinez les deux cercles intersections du cône et de la sphère avec le plan d'altitude $\text{[math]}$ .
Prenez $\text{[math]}$ et dessinez les deux cercles intersections du cône et de la sphère avec le plan d'altitude $\text{[math]}$ .
Prenez $\text{[math]}$ et dessinez les deux cercles intersections du cône et de la sphère avec le plan d'altitude $\text{[math]}$ .
Prenez $\text{[math]}$ et dessinez les deux intersections du cône et de la sphère avec le plan d'altitude $\text{[math]}$ .

Il s'agit de voir l'évolution des deux cercles en fonction de $\text{[math]}$ , et donc l'évolution de la forme de la zone dont il faut calculer la surface.

Et d'ailleurs, j'ai fait une erreur sur la deuxième partie : le disque à exclure englobe totalement le disque à prendre en compte, donc S=0.

invitec24be066 · 03/12/2012, 21h19

Voilà mon dessin, je tente de trouver le point d'intersection des 2 solides, mon domaine est ombragé.

C'est bien ça? Bien sur c'est un volume et non une surface comme dessiné...

Nom : 487102_10152418035175425_964394523_n.jpg
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**breukin** · 03/12/2012, 23h44

Il vous faut, pour chaque plan d'altitude $\text{[math]}$ , dessiner (dans ce plan, vu d'en haut) l'intersection du cône avec ce plan (c'est un cercle 1) et l'intersection de la sphère avec ce plan (c'est un cercle 2) (c'est ce que je vous ai déjà dit).
L'intersection de votre volume avec ce plan, c'est la zone intérieure de 2 qui n'est pas intérieure à 1. Et cela va dépendre des positions respectives de 1 et 2, qui dépendent de l'altitude.
Obéissez aux consignes données dans le "Pour comprendre ce qui se passe".
Ne dessinez pas en 3D, c'est quasi-impossible, on ne voit rien.
Ce n'est que de la géométrie dans le plan, en fait.

invited3a27037 · 04/12/2012, 10h17

Si tu veux suivre la méthode indiquée par Breukin, il te faut l'aire de l'intersection de 2 disques.
Tu as la formule n°14 ici:
http://mathworld.wolfram.com/Circle-...ersection.html

$\text{[math]}$

avec d la distance entre les centres des deux cercles, dans ton cas d=2
R le rayon du cercle intersection entre la sphère et le plan z=Cte, dans ton cas $\text{[math]}$
r le rayon du cercle intersection entre le cone et le plan z=Cte, dans ton cas r=z

Il en faut du courage pour se lancer dans le calcul de l'intégrale, avec 2 cas, de 0 à z0 et de z0 à z1

entre 0 et z0, le disque à exclure est entièrement inclus dans le disque pris sur la sphère
$\text{[math]}$

de z0 à z1, les 2 disques se chevauchent, utilisation de la formule 14
$\text{[math]}$

de z1 à 3, S(z)=0

après le calcul de l'intégrale, multiplier le volume obtenu par 2 (symétrie z -> -z)

**breukin** · 04/12/2012, 13h53

Et ici, ce n'est pas l'intersection qu'il faut prendre, mais le cercle issu de la sphère auquel on ôte l'intersection.

invite11c96409 · 07/12/2012, 06h53

Said doit etre content que ses éleves tentent de faire résoudre leurs devoir pars d'autre personnes

invitec24be066 · 08/12/2012, 22h16

Est-ce que ça va SVP!

**breukin** · 10/12/2012, 18h18

Est-ce que vous avez réussi à avancer ?
Est-ce qu'une solution vous a été apportée, si c'est un exercice donné par un professeur ?

Pour ma part, je suis allé assez loin dans les calculs, qui sont plutôt lourds voire rébarbatifs, nécessitant une grande méticulosité pour ne pas faire d'erreur, jusqu'à simplifier en une intégrale simple unique, dont le calcul ne semple pas évident (la primitive semble exprimable avec les fonctions elliptiques).

Dans quel contexte cet exercice a-t-il été donné ?

Intégrale triple