Sommes doubles et identité inexpliquée.

[invite874d5702]

Bonjour, dans le cadre d'un DM ayant pour sujet «Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux » j'ai montré :

On choisis aléatoirement n et m dans
Soit l'épreuve : n et m sont premiers entre eux ;

alors :


Où désigne la fonction de Möbius. (pour le retrouver utiliser )

Et je dois montrer que ceci est encore égal à :


Apparemment ce résultat peut s'obtenir aisément en posant n=kd et m=k'd puis en développant mais j'ai beau tourner et retourner les formules, je n'y parviens pas !
Je n'ai trouvé aucune formule sur les sommes susceptible de m'aider.

Dans d'autres démonstrations on peut trouver d'autres moyens pour montrer que le membre de droite vaux mais ce n'est pas ce que je veux. J'ai le sentiment qu'il manque peu d'étapes mais je n'arrive absolument pas à voir lesquelles.

Merci d'avance à tous ceux qui pourront m'apporter un peu d'aide,
même s'il ne s'agit que de références à des ouvrages ou à des pdf je suis preneur !
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[invite33c0645d]

Oh je trouve cela très méchant d'avoir laissé une telle question sans réponse.

Qu'elle est l'égalité qui te dérange ? Je ne prétend pas avoir de solution immédiate, mais je promet d'y accorder du temps

[invite874d5702]

Salut !

C'est gentil à toi mais depuis j'ai trouvé la solution (on m'a aidé sur un autre forum :P)
Du coup c'est moi qui te réponds : l'égalité qui me bloquait était la seconde de mon post (celle après "Et je dois montrer que ceci est encore égal à :")
La méthode était de se dire "au lieu de compter couples par couples (Σ n, m =< x), comptons diviseurs par diviseurs. Ainsi dans [[1;x]]² il y a (E(x/d))² nombres divisibles par d" (cette dernière proposition se montre plutôt facilement, c'est surtout intuitif en se faisant un petit quadrillage).

[invite33c0645d]

Alors tout est bon

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