L'espace vectoriel particulier des "flèches géométriques"

[Le petit belge]

Bonjour,

Avant de poser mes quelques questions, j'aimerais confirmer la vision que j'ai au sujet des vecteurs que nous utilisons en physique, et en particulier en mécanique.
S'agit-il bien de flèches géométriques? (en particulier pour des vecteurs tels que le champ électrique ou magnétique n'ayant pas de lien direct avec le vecteur position ou ses dérivées). L'espace vectoriel que contituent ces flèches géométriques est de dimension 3, je le noterai E. E et R^3 sont ismorphes (arrêtez-moi si je dis des bêtises).

Ma question:

Comment définit-on "rigoureusement" le produit scalaire (usuel) sur E? On nous a toujours appris qu'il suffisait de multiplier les normes des deux vecteurs avec le cosinus de l'angle non orienté (dans le cas de E, on définit l'angle non orienté géométriquement je suppose), mais la définition même de norme pose problème car, habituellement, on définit la norme d'un vecteur en prenant la racine du produit scalaire du vecteur avec lui-même... ce qui est un peu redondant.
J'aimerais donc connaître les définitions de normes et de produit scalaire sur E (et éventuellement d'angle orienté si celle-ci ne découle pas "naturellement" de la définition du produit scalaire comme c'est le cas des autres espaces vectoriels), sans faire appel à la bijection entre E et R^3 (en gros, sans utilisier des composantes ).

Voila, j'espère ne pas avoir été trop fourbu... D'avance merci pour votre réponse!
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[toothpick-charlie]

qu'as-tu contre l'usage des coordonnées?

[Le petit belge]

Rien, au contraire, c'est très utile. Mais E doit être, en principe, entièrement défini (opérations comprises) sans faire appel à R^3... C'est une question plutôt théorique que "pratique"

[toothpick-charlie]

mais justement le produit scalaire et la norme sont des notions qui ne sont pas affines.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Avant de poser mes quelques questions, j'aimerais confirmer la vision que j'ai au sujet des vecteurs que nous utilisons en physique, et en particulier en mécanique.
S'agit-il bien de flèches géométriques?

Certains...

Il y a plusieurs "visions" possibles.

Au plus simple, est vu comme "vecteur" tout ce qui se représente par un triplet de réels. Vision très pauvre, myope, se limitant aux coordonnées. Avec cette vision tous les "objets" physiques à trois coordonnées sont mis dans le même panier.

Un cran au-dessus on distingue les vecteurs "axiaux" des vecteurs "polaires". On dit aussi "pseudo-vecteur" pour "vecteur axial". Les "vecteurs polaires" sont alors ceux proches de la notion de flèche géométrique. Le produit vectoriel fait intervenir au moins un vecteur axial. Sont polaires la vitesses, la quantité de mouvement, la force, le champ électrique, les gradients, ... Sont axiaux la vitesse de rotation, le moment cinétique, le champ magnétique, ...

Encore un cran au-dessus, on reconnaît les vecteurs axiaux pour ce qu'ils sont : des "rotateurs", et plus rigoureusement des 2-formes (représentées correctement non pas par des éléments de R^3, mais par des matrices carrées 3x3 antisymétriques).

Et encore un cran au-dessus, on distinguera les vecteurs et les formes. Par exemple le concept de gradient se comprend comme une forme.

Reste comme "flèches géométriques" principalement la vitesse et l'accélération...

L'espace vectoriel que contituent ces flèches géométriques est de dimension 3, je le noterai E. E et R^3 sont ismorphes (arrêtez-moi si je dis des bêtises).

Correct.

Comment définit-on "rigoureusement" le produit scalaire (usuel) sur E?

C'est un peu imprécis. Il y a les définitions mathématiques, et ce qu'on fait en physique.

En maths, la définition usuelle est une application bilinéaire symétrique définie positive. Le produit scalaire est alors unique à isomorphisme près (pour toute paire de deux espaces vectoriels de même dimension finie chacun muni d'un produit scalaire, il existe un isomorphisme d'espace vectoriel entre les deux qui respecte le produit scalaire). C'est le produit scalaire euclidien.

En physique c'est bien plus compliqué, on appelle produit scalaire diverses opérations, selon la nature des deux objets en cause. Ces opérations ont en commun leur formule avec des composantes selon des bases bien choisies, mais sont géométriquement de nature différente.

Pour ne prendre qu'un exemple, le produit entre un gradient de température et une vitesse (ce qui donne le taux de variation temporelle de la température le long de la trajectoire) correspond à l'application du gradient en tant que forme au vecteur vitesse.

[Le petit belge]

Certains...

En maths, la définition usuelle est une application bilinéaire symétrique définie positive. Le produit scalaire est alors unique à isomorphisme près (pour toute paire de deux espaces vectoriels de même dimension finie chacun muni d'un produit scalaire, il existe un isomorphisme d'espace vectoriel entre les deux qui respecte le produit scalaire). C'est le produit scalaire euclidien.

Pour être sur d'avoir bien compris ceci, la définition du produit scalaire usuel sur E (par exemple, pour calculer le travail d'une force...) se fait de manière "indirecte" en passant par la définition du produit scalaire euclidien sur R^3, c'est bien cela? On est donc obligé de se choisir une base pour pouvoir utiliser la définition?

[Amanuensis]

Pour être sur d'avoir bien compris ceci, la définition du produit scalaire usuel sur E (par exemple, pour calculer le travail d'une force...) se fait de manière "indirecte" en passant par la définition du produit scalaire euclidien sur R^3, c'est bien cela?

Non. Il se trouve juste que c'est pratique parce qu'il existe nécessairement une représentation (isomorphisme) par R^3.

On pourrait, par exemple, caractériser le produit scalaire en donnant la sphère unité, l'ensemble des vecteurs de norme 1.

Dans le cas du travail en physique, le produit est défini intrinsèquement d'une part par l'isotropie (une expérience a un résultat identique si elle est entièrement tournée dans l'espace) et d'autre part par les unités.

[taladris]

Salut,

Un cran au-dessus on distingue les vecteurs "axiaux" des vecteurs "polaires".

Comment définis-tu vecteurs polaires et vecteurs axiaux?

[Amanuensis]

Comment définis-tu vecteurs polaires et vecteurs axiaux?

Par exemple l'effet de l'inversion de l'espace : les vecteurs polaires changent de signe, pas les vecteurs axiaux.

Un autre "indice", apparenté, est l'effet d'une homothétie spatiale (changement d'unité de longueur).

Très généralement, on se permet de mettre toute une collection de grandeurs dans le même panier "vecteur" parce qu'elles se transforment de la même manière par les isométries paires. C'est en prenant un groupe plus grand qu'apparaissent des différences.

Une autre approche, déjà esquissée, est d'analyser les formules reliant les grandeurs : les produits vectoriels permettent de trier entre polaires et axiaux.

[taladris]

Ce n'est pas vraiment une définition. Est-ce que la notion de vecteurs axiaux/polaires est purement physique? Ou mathématique?

[Médiat]

Ce n'est pas vraiment une définition. Est-ce que la notion de vecteurs axiaux/polaires est purement physique? Ou mathématique?

Vocabulaire physique ; ayant lu que les vecteurs polaires sont en fait des vecteurs et que les vecteurs axiaux sont parfois appelés pesudo-vecteurs, je me demande si la notion mathématique la plus proche ne serait pas les algèbres géométriques, à moins que cela ne soit un mélange de vecteurs et d'élément du dual (vectoriel).

[Amanuensis]

Il y a une définition mathématique claire en algèbre extérieure : un vecteur polaire ou pseudo-vecteur est une 2-forme v représentée par #*v, * le dual de Hodge sur les n-formes, et # l'application de la métrique.

Cela utilise deux isomorphismes, celui entre les k-formes et les (n-k)-formes (Hodge) et celui entre les 1-formes et les vecteurs (métrique).

Est-ce le type de réponse qui était demandée ? (Pour moi elle entre dans le "deuxième cran", quand on va assez loin dans les "natures géométriques".)

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Ceci dit, en 3D parler des objets tensoriels de rang 1 ne s'inversant pas par l'inversion définit assez bien les vecteurs polaires, tant qu'on ne fait pas la distinction entre vecteurs et formes.

[Amanuensis]

Ceci dit, la notion de définition n'est pas très claire dans le contexte. En maths on peut définir des classes de tenseurs, comme les vecteurs (rang 1 contravariant), les 2-formes (rang 2 covariant antisymétrique), les 1-formes (rang 1 covariant), ... (ainsi que bien d'autres comme les scalaires ou les 2-formes quelconques, qui, eux, ne peuvent pas se "confondre" avec des "flèches géométriques").

Mais parler de "vecteur axial" décrit plus un usage, propre à la physique.

Si j'essaye de comprendre comment je "gère" ces termes, il y a d'un côté les définitions mathématiques, basées sur la géométrie différentielle et les formalismes tensoriels et extérieurs, et de l'autre les usages terminologiques en physique avec les amalgames qu'ils impliquent (sans que cela ait de conséquences pratiques significatives).

Il me semble que le sujet à la base est plutôt sur les usages (en physique donc) que sur le formalisme mathématique.

[taladris]

Il y a une définition mathématique claire en algèbre extérieure : un vecteur polaire ou pseudo-vecteur est une 2-forme v représentée par #*v, * le dual de Hodge sur les n-formes, et # l'application de la métrique.

Cela utilise deux isomorphismes, celui entre les k-formes et les (n-k)-formes (Hodge) et celui entre les 1-formes et les vecteurs (métrique).

Merci pour ta réponse.