Sur les séries numériques

[invited7e4cd6b]

Bonsoir F.S.,

Je voulais avoir quelques indications pour prouver la convergence de cette série: .

Voila ce que j'ai fais: .
On peut écrire que: ~ en et cela implique la divergence de notre série.

Ai-je raison? Ai-je tort?

Merci d'avance.

M.
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[invited7e4cd6b]

Bonsoir,

J'ai une piste, je vous l'expose:

Donc ma somme en tend vers:

Est-ce juste?

[Tiky]

Bonjour,

Votre idée est la bonne mais vous passez sur la seule chose qui nécessite une vraie justification, à savoir que :

Cela n'a rien d'évident.

Une preuve possible consiste à appliquer le théorème de Beppo-Levi à la suite de fonctions:


Les sont des fonctions positives. Il faut s'assurer que cette suite de fonction est croissante. Il suffit de montrer que pour tous , on a :

Soit , posons avec . Alors


On peut alors appliquer le théorème de Beppo-Levi (avec la mesure de comptage évidemment) :

[invitef3414c56]

Bonjour,
Peut-\^etre un peu plus élémentaire que le th de Beppo-Levi:

a) On a pour tout , on fait et on prend la puissance n-ième, d'où

b) On se donne {tex] \varepsilon >0[/tex], il existe un entier tel que si , on a [tex} \sum_{k\geq N+1} \exp(-k)<\varepsilon [/tex]

c) Pour , on a
[tex] |\sum_{k\geq 0}\exp(-k)-\sum_{k=0}^n(1-\frac{k}{n})^n|\leq \sum_{k=0}^{N}|\exp(-k)-\sum_{k=0}^n(1-\frac{k}{n})^n|+2\varepsilon [tex] et on popse cette dernière quantité égale à .

d) Comme tend vers 0 si n tend vers l'infini, N étant fixé, il existe tel que si .

e) Conclusion: si , on a et on a terminé.

Si on s'autorise le th de convergence dominée pour la mesure de comptage $m$, soit la suite de fonctions de N dans R définie par [tex] f_n(k)=(1-\frac{k}{n})^n [/tex) pour k<=n, , la fonction de N dans R définie par [tex] g(k)=\exp(-k) [/tex), on a par le a) que , donc la condition de domination est vérifiée puisque g est intégrable indépendante de n, et il est clair que converge simplement vers g, donc le th de convergence dominée donne , et on a terminé.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef3414c56]

Re-bonjour,

Message un peu plus clair:


Peut-\^etre un peu plus élémentaire que le th de Beppo-Levi:

a) On a pour tout , on fait et on prend la puissance n-ième, d'où

b) On se donne , il existe un entier tel que si , on a

c) Pour , on a
et on pose cette dernière quantité égale à .

d) Comme tend vers 0 si n tend vers l'infini, N étant fixé, il existe tel que si .

e) Conclusion: si , on a et on a terminé.

Si on s'autorise le th de convergence dominée pour la mesure de comptage $m$, soit la suite de fonctions de N dans R définie par [tex] f_n(k)=(1-\frac{k}{n})^n [/tex) pour k<=n, , la fonction de N dans R définie par [tex] g(k)=\exp(-k) [/tex), on a par le a) que , donc la condition de domination est vérifiée puisque g est intégrable indépendante de n, et il est clair que converge simplement vers g, donc le th de convergence dominée donne , et on a terminé.

Cordialement.

[invited7e4cd6b]

Bonsoir,

Je vous remercie pour votre aide, quoique Beppo-Levi est hors programme, mais je l'ai pris comme étant une variante du théorème de convergence dominée et de la double limite des suites de fonctions.

Maintenant je comprend mieux il faut dire.

Merci a vous et bonne année 2013.