Cas particulier formule médiane

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Bonjour,

Quelqu'un pourrait'il m'éclairer?

On a la formule de la médiane aussi appelé théorème de Appollonius de Perge :
Dans un triangle ABC quelconque ou I et le milieu du segment BC,


Ma question est la suivante: quelle identité retrouve ton lorsque les points sont alignés?
Que se passe t'il dans la cas particulier ou les points ABC sont alignés?

J'ai essayé de traduire le fait que les point sont aligné en exprimant les vecteurs en fonction de AB par exemple,
mais cela n'aboutit pas. Que faire?

Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

La relation est toujours valable lorsque les points sont alignés, car c'est une simple conséquence de


Si tu veux traduire l'alignement, tu peux écrire :

On en déduit facilement


Puis, en remplaçant et simplifiant par AB² :

Cette égalité est assez évidente, non ?

On peut aussi mettre un repère sur l'axe (AB) et prendre a, b et c comme abscisses de A, B et C. On obtient le même genre de formule algébrique qui se démontre avec les identités remarquables.

Cordialement.