probabilités

[invited9e14528]

Bonjour,
j'ai deux exercices de propabilités à résoudre mais je n'y arrive pas...
1. On dispose d'un damier carrée de 4 lignes et 4 colonnes. On répartit au hasard 4 jetons indiscernables sur 4 cases différentes du damier. Déterminer la probabilité des évènements suivants:
- aucun des jetons ne se situe sur une des diagonales ( j'ai remarqué qu'il y avait équiprobabilité, j'ai calculé l'ensemble des résultats possibles mais ensuite je n'arrive pas à trouver les résultats favorables à cet évènement)...
- trois jetons exactement sont sur une même diagonale.
- Chaque ligne et chaque colonne contient un jeton.

Je sais qu'il faut d'abord dénombrer pour trouver les cardinaux mais je n'y arrive pas, je ne comprends pas..

2. On lance n fois de suite une pièce de monnaie (avec n > 0). Pour tout i ϵ [1;n] on considère les évènements :
- Fi :"obtenir face au i-eme lancer"
- Pi : "obtenir pile au i-ème lancer"
1. Les Fi et Pi sont-ils des évènements élémentaires ? (oui)
2. on suppose que la pièce utilisée est truquée et donne pile avec probabilité 2/5.

> Quelle est la probabilité d'obtenir face lors d'un lancer (3/5)
> Quelle est la probabilité d'obtenir n fois pile ? Et là je ne vois pas comment procéder.
> Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois pile ? (je cherche la probabilité de n'obtenir aucun pile, mais cela me donne un résultat bizarre...)
> Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une fois pile ?
> Quelle est la probabilité d'obtenir le premier pil au k-ieme lancer ? (ce qui me gêne ici c'est qu'il n'y ait pas équiprobablité)
> Quelle est la probablité d'obtenir le deuxième pile au n-ième lancer ? (je trouve le cardinal à n-1)
> Quelle la probabilité d'obtenir exactement deux fois pile ?
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[invite179e6258]

pour la première question il y a deux approches.
la plus simple consiste à dénombrer les configurations de 4 jetons qui vérifient la condition, et dénombrer toutes les configurations. Il y a 16 cases dont 8 sont sur les diagonales. Le nombre total de configurations est le nombre de parties à 4 éléments d'un ensemble à 16 éléments. Je te laisse finir.

[invited9e14528]

J'ai appliqué le dénombrement comme vous me l'avez indiqué et j'ai caractérisé chaque résultat puis j'ai trouvé la probabilité en fonction de l'équiprobabilité.
Donc pour l'univers j'ai trouvé qu'un résultat était un 4-arrangement de l'ensemble des 16 cases du damier donc A(16,4)=43680.
Pour la question 1, je note A l'évènement et j'ai trouvé #A = 1680 donc P(A) = 1680/43680 = 1/26

Pour la question 2, je note B l'évènement et j'ai trouvé #B = 3360 donc P(B) = 3360/43680 = 1/13

Pour la question 3, je note C l'évènement et j'ai trouvé #C = 576 donc P(C) = 576/43680 = 6/455

Maintenant c'est pour l'exercice 2, puisque ce n'est pas équiprobable j'ai du mal à résoudre les questions. Je pense qu'il faut que je me serve de l'indépendance des évènements, mais je ne sais pas comment résoudre les questions...

[invite179e6258]

mais pourquoi tenir compte de l'ordre des jetons puisqu'ils sont indistinguables?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited9e14528]

Parce que j'ai considéré qu'il y avait quand même 4 jetons distincts.. Mais effectivement dans ce cas c'est des comparaisons. Donc je change mes calculs en combinaison ?
Pour l'exercice 2, je considère que les évènements sont indépendants et j'ai trouvé :
- pour la question 1 : 1 - P(Pi) = 3/5
- pour la question 3 : j'ai déterminer la probabilité d'obtenir aucun pile (c'est-à-dire d'obtenir n face) et je trouve (2/5)^n
- pour la question 4 je ne sais pas comment faire.
- pour la question 5 : si on obtient le premier pile au k-ième lancer donc c'est qu'on obtient face aux k-1 lancers et pile au k-ieme lancer donc j'obtiens (2/5)^k-2 x (3/5) (mais je ne suis pas sure) par indépendance
et après je ne sais pas comment faire.