Loi géométrique et non vieillissement

[invite1405ab3f]

Bonjour,
Je cherche à résoudre un exercice de proba et je n'arrive qu'à démontrer la réciproque de la propriété de non veillissement :

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N* telle que P(X = n) > 0 pour tout n dans N*. Montrer que :
P(X > m+n | X > m) = P(X > n), pour tout m, n dans N <=> X suit une loi géométrique, c-a-d : il existe p dans (0,1) : P(X = n) = p.(1 - p)^(n-1), pour tout n dans N*.

Nous avons fait cette démo en TD avec une loi continue exponentielle. Nous sommes passés par la dérivée h'(t) de h(t) = P(X > t) pour faire apparaitre une équation différentielle d'ordre 1 et faire apparaitre h(t) = K.exp(h'(0)t).

Mais avec la loi géométrique, je ne vois pas comment faire.

Cordialement,
Val'
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[invite179e6258]

salut,

en fait pour une loi sur N, tu n'es pas obligé de raisonner sur P(X>k) mais tu peux raisonner directement sur P(X=k) (l'équivelent de la densité).

la propriété de non vieillissement s'exprime par P(X=m+k|X>=m)=P(X=k)

D'abord on pose p=P(X=0)

on commence avec m=1 et k=0. alors la propriété devient P(X=1|X>=1) = P(0)
mais P(X>=1) = 1-P(X=0) = 1-p et
P(X=1|P>=1) = P(X=1)/P(X>=1) et finalement
P(X=1) = p(1-p)

et on continue comme ça par récurrence.

il y a une méthode plus rapide, qui consiste à écrire une équation aux dérivées partielles pour la fonction génératrice des probabilités.

[invite1405ab3f]

Ah oui, c'est très bien pensé la récurrence !
Par contre, dans mon énoncé j'ai bien P(X > m+n | X > m) = P(X > n). C'est pour cela que je partais sur P(X > n).

Mais sur la même base, voici le raisonnement que je construis :


Pour et :






Et j'arrive à ma loi géométrique !

Val'

[invite179e6258]

ok. Sauf que c'est P(X=0) qui vaut p en principe. Mais c'est juste une question de définition. La définition classique de la loi géoémétrique c'est : loi du nombre d'échecs avant d'obtenir un succès dans une suite d'expériences de Benoulli. Si on obtient un succès au premier coup, on a eu zéro échecs et donc X=0. C'est vrai qu'il y a une définition alternative où on compte aussi le succès. Alors P(X=0)=0 et P(X=1)=p.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1405ab3f]

Oui c'est ce que nous avons dans notre cours, il est souligné que plusieurs définitions sont utilisées.
Elle est définie comme :
Tirage avec remise dans un urne contenant des boules bleues et rouges en proportion respectives p et 1-p. X est le nombre de tirages effectués lors de l'apparition de la 1ère boule bleue. Alors X ~ G(p).
X est le rang d'arrivée de cette boule bleue.
Si on définit comme P(X=k) = p(1-p)^k, X représente le nombre de boules rouges avant l'arrivée de la 1ère boule bleue.

Bref^^ J'ai quand même un petit problème : la récurrence est simple pour m = 1, mais faut-il que j'arrive à la démontrer pour tout m dans N ? Ou je peux juste utiliser la relation de non vieillissement avec m = 1 pour montrer que X est de loi géométrique ?

val'