Loi geométrique tronquée

[inviteaf7e4316]

Soit n un entier naturel et p un réel compris entre 0 et 1. On suppose qu'une variable aléatoire suit la loi suivante:
P(X=0) = (1-p)ⁿ
et P(X=k) = p x (1-p)^k-1 pour 1 ≤ k ≤ n.

1) Montrer que:
E(X) = p[1+2(1-p)+3(1-p)²+..........+n(1-p)^n-1 = p x Σ[k x (1-p)^k-1]

2) On pose, pour x reel:
S(x) = 1 + 2x + 3x² + ....... + n.x^n-1
a) Simplifier l'expression S(x) - x S(x)
b) En deduire un expression de S(x) en fonction de x
c) En deduire que: E(X) = 1/p [ 1 - (1+np)(1-p)ⁿ) ]


Bon moi le 1) est facile, on fait un loi de probabilité et on en déduis E(X)
Pour le 2) j'ai fait: S(x) - x S(x) = S(x) (1-x) = Σ [k.x^k-1.(1-x)] mais je ne sais plus comment continuer


Mercii beaucoup pour toute aide
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[gg0]

Bonsoir.

On t'a donné S(x) sous forme développée; tu devrais écrire de la même façon xS(x), puis faire la différence. Tu trouveras une somme classique.

Bon travail !

[inviteaf7e4316]

j'aboutirais a 1+x+x²+x³+x⁴+................+xⁿ ?

[gg0]

Oui, c'est ça, et tu as une expression simple de cette somme de termes en progression géométrique (au moins pour x différent de 1).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ff70a1c]

Salut.
On n'aurait pas,sauf erreur de ma part
?

[gg0]

Tout à fait Sammy !

J'ai manqué de vigilance.