Loi géométrique et loi binomiale

[invite3b66be4b]

Bonsoir! Je ne comprends pas pourquoi dans l'exercice suivant on ne peut utiliser la loi géométrique ( de plus quand j'essaye de l'utiliser je n'obtiens pas la même valeur que quand j'utilise la loi binomiale) :

La prévalence de l'insuffisance cardiaque en France est de 3%. Combien de sujets faut-il téter pour avoir 95% de chances d'observer au moins 1 malade atteint d'insuffisance cardiaque ?

Donc en utilisant la loi binomiale je trouve k = nombre de personnes à tester pour avoir nos 95% = 99

En utilisant la loi géométrique je fais P(X=k) = q^k-1 * p

Ln 0,95 - ln 0,03 / ln 0,97 + 1 = k = 112

Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Et en utilisant la loi de Poisson ?
Et en utilisant la loi hypergéométrique ?
Et en utilisant la loi uniforme sur les entiers de 1 à 10 ?

Bon, sérieusement, la bonne question est "quel outil est adapté à ce problème ?". Donc la première chose est de traiter la modélisation de la situation en fonction de la question posée :

Combien de sujets faut-il téter pour avoir 95% de chances d'observer au moins 1 malade atteint d'insuffisance cardiaque ?

Moi qui ne tètes plus depuis que j'ai abandonné le biberon, je n'observerai jamais rien

Donc réécrivons intelligemment cette question :
"Combien de sujets faut-il traiter pour avoir 95% de chances d'observer au moins 1 malade atteint d'insuffisance cardiaque ?"

L'idée, je pense est qu'on prend un échantillon de n sujets et qu'on détermine ceux qui ont une insuffisance cardiaque. Et qu'on veut prendre n suffisamment grand pour que la probabilité qu'il y en ait au moins 1 soit au moins égale à 95%. Dans ce cas, le nombre X des sujets qui ont une insuffisance cardiaque est une variable aléatoire binomiale de loi B(n,p), et
P(X>=1)=1-P(X=0)=1-0,97ⁿ
comme on veut P(X>0)>0,95 on trouve n>98,4, et on prend n=99

L'idée de la loi géométrique est de compter le nombre d'essais nécessaires pour faire apparaître un insuffisant cardiaque. Si on appelle Y le nombre d'essais, Y suit une loi géométrique de paramètre 0,03, et on cherche un n tel que P(Y<=n) >0,95, puisqu'on veut avec n sujets avoir 95% de chances qu'on en ait trouvé un (au moins) insuffisant cardiaque.

Où p est la probabilité de réussite p=0,03


Et on trouve le même résultat, puisque la loi géométrique cumulée peut se ramener au cas X=1 de la loi binomiale.

Donc pas la peine de faire deux méthodes, une seule, raisonnée correctement donne le bon résultat.

Cordialement.

NB : ici, la loi binomiale donne un calcul plus simple.

[invite3b66be4b]

Moi qui ne tètes plus depuis que j'ai abandonné le biberon, je n'observerai jamais rien

désolé !

Merci pour votre réponse, une dernière question s'il vous plaît, est ce que dans tous les cas lorsque je ne veux pas utiliser la loi géométrique je peux utiliser une loi binomiale ? Je veux dire il n'y a pas de conditions de validité ?

Merci

[gg0]

Il y a des cas où on est amené à utiliser la loi géométrique. Tout dépend de la modélisation utilisée. On utilise ces lois quand elles sont le bon outil.

Cordialement.

Sais-tu au moins ce qu'elles traduisent (voir ton cours) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3b66be4b]

Oui je crois savoir ! Merci pour vos réponses !