MATRICES points de cours

[invite613a4e44]

Une série de petites questions

1) Pourquoi l'ensemble des matrices de taille (n,p) est un ev alors que seul l'ensemble des matrices CARRÉES est un anneau et donc une algèbre?

2) Pourquoi seules des matrices carrées peuvent-elles être inversibles?

3) Une matrice, est-ce une application ou plus précisément une application linéaire?

4) Deux anneaux peuvent-ils être isomorphes? Si oui cela signifie que l'on obtient l'un à partir de l'autre en appliquant un isomorphisme? Ca doit être ça mais ça me gênait car pour les espaces vectoriels, "isomorphe à" signifie "de même dimension" et un anneau n'a pas de dimension. Mais je suppose que pour les anneaux on se contente de la définition première d'un isomorphisme.

5) La trace d'une matrice est-elle un RÉEL ou plus généralement un SCALAIRE? Car j'ai vu quelque part que c'était un réel mais pourtant la trace est une somme de coefficients qui sont des scalaires par définition non?

6) 1 matrice= 1 seule application linéaire?
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[invite88ef51f0]

Salut,
1) Pour avoir un anneau, il te faut une deuxième loi : la multiplication. Et si n et p sont différents, si tu peux faire AB, tu ne peux par contre pas parler de BA. Tu ne peux donc pas définir la multiplication correctement.

2) Un peu pour la même raison. Il faut que l'inverse marche aussi bien à gauche qu'à droite.

3) Pas directement. On peut associer une application linéaire à chaque matrice et réciproquement, mais ce n'est pas pour autant la même chose. Tu n'es pas ton nom.

4)

pour les espaces vectoriels, "isomorphe à" signifie "de même dimension"

"Implique" et pas "signifie". La définition de "isomorphe" ne fait que parler de bijection.

5) La trace est un scalaire. Elle peut-être complexe pour des matrices complexes.

6) Une fois que tu as définis ton isomorphisme, oui. Mais il n'existe pas un seul isomorphisme qui permet de passer des matrices aux applications linéaires.

[invite986312212]

-un anneau n'a pas de dimension.

il existe pourtant une théorie de la dimension pour les anneaux. Elle est
liée à la notion d'idéal premier, notion qui généralise la propriété des nombres premiers qui est que si un nombre premier divise un produit, il divise forcément au moins un des facteurs (lemme de Gauss je
crois)

[invite4793db90]

Salut,

La définition de "isomorphe" ne fait que parler de bijection.

Pas tout à fait. Il s'agit plutôt de conservation de structure.

Dans certaines catégories, il existe des morphismes bijectifs qui ne sont pas des isomorphismes.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]

Dans certaines catégories, il existe des morphismes bijectifs qui ne sont pas des isomorphismes.

Tu peux donner un exemple stp ?
Quand tu dis que ce ne sont pas des isomorphismes, cela signifie qu'ils ne suffisent pas à faire un transfert de structure ? La notion de morphisme est-elle alors justifiée ?

[invite4793db90]

Dans la catégories des variétés différentiables, les morphismes sont évidemment les applications différentiables.

Mais est un morphisme bijectif qui n'est pas un isomorphisme.

[invitec314d025]

Dans la catégories des variétés différentiables, les morphismes sont évidemment les applications différentiables.

Je ne trouve pas ça évident. C'est un peu pour ça qu'on introduit les difféomorphismes qui ne se contentent pas d'être différentiables et bijectifs non ?

En quoi une simple application différentiable mériterait le nom de morphisme ?

[invite4793db90]

Il faut replacer tout ça dans le cadre des catégories, où l'on peut définir la notion de morphisme (tout court) de manière générale (un morphisme de groupes n'est pas un morphisme d'anneaux par exemple).

Après, il est vrai que l'on parle de difféomorphismes, d'homéomorphismes, d'applications linéaires, etc.

Mais par exemple dans la catégorie des variétés affines, les morphismes sont appelés... morphismes (de variétés affines). D'où ma remarque sur le fait qu'en général, un morphisme bijectif n'est pas nécessairement un isomorphisme.

Cordialement.

PS: je n'ai rien inventé, c'est dans le Mumford, Red book of varieties and schemes.

[invitec314d025]

PS: je n'ai rien inventé, c'est dans le Mumford, Red book of varieties and schemes.

Je te crois sur parole, je cherche juste à comprendre
Je ne savais pas qu'il existait une notion générale de morphisme. C'est exactement la même notion qui se décline sur des groupes, anneaux, corps, ev, variétés afines, etc ?

[invite4793db90]

Oui c'est ça.

On ne peut pas parler de l'ensemble de tous les groupes ou de tous les anneaux, mais on peut parler de catégories.

Il y a d'ailleurs à la fin deux exemples de morphismes "injectifs" et "surjectifs" qui ne sont pas des isomorphismes. (je découvre)

EDIT: à propos de la dernière phrase: en fait visiblement, un monomorphisme (resp. un épimorphisme) n'est pas nécessairement un morphisme injectif (resp. surjectif).

[invitec314d025]

Il y a quand même un truc qui me chagrine. Est-ce que la nature des flèches (donc la définition du morphisme par la même occasion) est un choix ou une conséquence directe de la nature des objets ? Même si ça paraît naturel de prendre les applications continues pour la catégorie des espaces topologiques (par exemple), ça marcherait aussi avec des applications toutes bêtes non ?

[invite4793db90]

Tout à fait, c'est pour ça qu'il faut préciser quelles sont les flèches de la catégorie.

Les groupes et les applications ensemblistes forment une catégorie. Mais c'est sûr que ce n'est pas celle-là qui est intéressante.

[invitec314d025]

D'accord, mais alors on n'a plus tout à fait une notion unique de morphisme que l'on pourrait décliner en fonction de la nature des objets (vu qu'il faut aussi choisir la nature des flèches).
En gros on sait ce qu'on attend d'un isomorphisme (pouvoir faire un transfert de structure), pourrait-on en déduire quelque chose sur les morphismes "intéressants" ? En même temps la notion de "structure" est assez vague si on inclue à la fois les structures algébriques, les topologies, etc.

[invite4793db90]

En fait, la théorie des catégories permet de clarifier l'envie que l'on pourrait avoir de parler d'ensemble de tous les groupes, de tous les anneaux, etc. Après il y a plein de trucs intéressants internes à la théorie: catégorie duale, catégorie pleine, etc. (je ne suis pas spécialiste)

Mais surtout le langage des catégories permet de relier des notions a priori sans rapport. Par exemple, la catégorie des variétés algébriques affines* est isomorphe à la catégorie des anneaux commutatifs*.

Cordialement.

* avec les flèches évidentes.

[invite986312212]

je me demande d'ailleurs si on ne peut pas définir une catégorie avec seulement les morphismes, puisqu'un objet peut être identifié avec son isomorphisme identité. On parlerait alors de catégorie des applications continues au lieu de catégorie des espaces topologiques.

[invite4793db90]

je me demande d'ailleurs si on ne peut pas définir une catégorie avec seulement les morphismes, puisqu'un objet peut être identifié avec son isomorphisme identité. On parlerait alors de catégorie des applications continues au lieu de catégorie des espaces topologiques.

Salut,

c'est un peu bizarre: un morphisme est accompagné de sa source et de son but, sinon, ça n'a pas de sens.

Sinon, il est vrai que ce sont essentiellement les morphismes qui contiennent les informations intéressantes.

Cordialement.