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sinusoïde discrète



  1. #1
    r0d

    sinusoïde discrète

    Bonjour à tous,

    avant tout, je tiens à préciser que le problème que je vais vous poser ici est un problème informatique, en pratique. Mais en réalité, il s'agit d'un algorithme qui nécessite (je pense) de sérieuses connaissances en trigonométrie, c'est pourquoi je préfère le poster ici. Alors le voici:

    Je cherche à trouver une suite S telle que, pour un entier a donné:
    S0 = sin(0) = 1
    Sn = sin (n/a)
    Et le problème est que je n'ai pas le droit d'utiliser des fonctions trigonométriques (sin, cos, tan, etc.) SAUF pour calculer une ou deux valeurs initiales.

    Toute idée est la bienvenue
    Merci.

    -----


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  3. #2
    matthias

    Re : sinusoïde discrète

    Citation Envoyé par r0d
    il s'agit d'un algorithme qui nécessite (je pense) de sérieuses connaissances en trigonométrie
    Je pense que connaitre les formules pour sin(a+b) et cos(a+b) doit suffire.
    Tu peux par exemple introduire une deuxième suite Tn = cos(n/a), et calculer Sn+1 et Tn+1 en fonction de Sn et Tn. Et tu as effectivement deux valeurs initiales à calculer, à savoir sin(1/a) et cos(1/a).

  4. #3
    Eric78

    Re : sinusoïde discrète

    Moi je mettrais ca en complexes en étudiant Zn=cos(n/a)+isin(n/a)=exp(i*n/a). Après tu établit la relation de récurrence et ca doit marcher...
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.

  5. #4
    matthias

    Re : sinusoïde discrète

    Eric, ta solution est rigoureusement identique à la mienne

  6. #5
    ericcc

    Re : sinusoïde discrète

    Par contre je pense que si on part de sin(o)=1 on va avoir un sérieux problème

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    r0d

    Re : sinusoïde discrète

    En suivant vos coneils, j'arrive à
    Sn = sin (a/n)
    Tn = cos (a/n)
    Sn+1 = Sncos(1/a) + Tnsin(1/a)
    Tn+1 = Tncos(1/a) - Snsin(1/a)
    Si maintenant je pose:
    p = cos(1/a) et q = sin(1/a), ça me donne:
    Tn+1 = pTn - qSn
    Sn+1 = pSn + qTn
    Et comme je connais S0 et T0, c'est gagné

    Du coup, j'obtiens, à chaque itération: 4 multiplications + 2 additions (c'est comme ça que l'on calcule l'efficacité d'un algo).



    Mais (car il y a toujours un mais) je sais qu'on peut faire mieux (je l'avais déjà calculé il y a quelques années, mais je ne m'en souviens plus). Malheureusement, je ne parviens pas à trouver ça sur la toile. Vous auriez une idée?

    [edit]euh oui, pardon pour sin(0) = 1 ... un moment d'égarement [/edit]
    Dernière modification par r0d ; 05/01/2006 à 11h57.

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  10. #7
    Eric78

    Re : sinusoïde discrète

    Citation Envoyé par matthias
    Eric, ta solution est rigoureusement identique à la mienne
    Croisement T'as mis 6 min de moins pour réflechir ^^
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.

  11. #8
    ericcc

    Re : sinusoïde discrète

    Je ne sais si cela peut t'aider, mais tu peux peut-être passer par la relation de récurrence des polynomes de Tchebychev.

    Ils sont définis par Tn(cos a) = cos (na)

    Ils vérifient la relation de récurrence

    Tn(x)= 2x Tn-1 (x) - Tn-2 (x)

    Il y peut etre moins d'opérations ?

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