sinusoïde discrète

[invitecd39b2fc]

Bonjour à tous,

avant tout, je tiens à préciser que le problème que je vais vous poser ici est un problème informatique, en pratique. Mais en réalité, il s'agit d'un algorithme qui nécessite (je pense) de sérieuses connaissances en trigonométrie, c'est pourquoi je préfère le poster ici. Alors le voici:

Je cherche à trouver une suite S telle que, pour un entier a donné:
S₀ = sin(0) = 1
S_n = sin (n/a)
Et le problème est que je n'ai pas le droit d'utiliser des fonctions trigonométriques (sin, cos, tan, etc.) SAUF pour calculer une ou deux valeurs initiales.

Toute idée est la bienvenue
Merci.
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[invitec314d025]

il s'agit d'un algorithme qui nécessite (je pense) de sérieuses connaissances en trigonométrie

Je pense que connaitre les formules pour sin(a+b) et cos(a+b) doit suffire.
Tu peux par exemple introduire une deuxième suite Tn = cos(n/a), et calculer S_n+1 et T_n+1 en fonction de Sn et Tn. Et tu as effectivement deux valeurs initiales à calculer, à savoir sin(1/a) et cos(1/a).

[invite3f53d719]

Moi je mettrais ca en complexes en étudiant Zn=cos(n/a)+isin(n/a)=exp(i*n/a). Après tu établit la relation de récurrence et ca doit marcher...

[invitec314d025]

Eric, ta solution est rigoureusement identique à la mienne

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Par contre je pense que si on part de sin(o)=1 on va avoir un sérieux problème

[invitecd39b2fc]

En suivant vos coneils, j'arrive à
S_n = sin (a/n)
T_n = cos (a/n)
S_n+1 = S_ncos(1/a) + T_nsin(1/a)
T_n+1 = T_ncos(1/a) - S_nsin(1/a)
Si maintenant je pose:
p = cos(1/a) et q = sin(1/a), ça me donne:
T_n+1 = pT_n - qS_n
S_n+1 = pS_n + qT_n
Et comme je connais S₀ et T₀, c'est gagné

Du coup, j'obtiens, à chaque itération: 4 multiplications + 2 additions (c'est comme ça que l'on calcule l'efficacité d'un algo).



Mais (car il y a toujours un mais) je sais qu'on peut faire mieux (je l'avais déjà calculé il y a quelques années, mais je ne m'en souviens plus). Malheureusement, je ne parviens pas à trouver ça sur la toile. Vous auriez une idée?

[edit]euh oui, pardon pour sin(0) = 1 ... un moment d'égarement [/edit]

[invite3f53d719]

Eric, ta solution est rigoureusement identique à la mienne

Croisement T'as mis 6 min de moins pour réflechir ^^

[inviteaf1870ed]

Je ne sais si cela peut t'aider, mais tu peux peut-être passer par la relation de récurrence des polynomes de Tchebychev.

Ils sont définis par T_n(cos a) = cos (na)

Ils vérifient la relation de récurrence

T_n(x)= 2x T_n-1 (x) - T_n-2 (x)

Il y peut etre moins d'opérations ?