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converge de séries positives




  1. #1
    christophe_de_Berlin

    converge de séries positives

    bonjour,

    j´essaie d´appliquer le théorème de deux séries à termes positives, comme quoi:

    Si Un <= Vn et Un diverge, alors la Vn diverge.

    Dans mon cas j´ai

    Un = 1/racine(n)

    La série associée à Un diverge.

    Vn = ln(n^2 +1)/racine(n+1)

    Un/Vn a une limite infinie en +infini, donc j´en déduit qu´à partir d´une certain rang, Un> Vn.

    Donc Vn diverge

    Est-ce correcte ou y-a-t´il quequechose qui m´échappe?

    merci d´avance

    chris

    -----


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  3. #2
    matthias

    Re : converge de séries positives

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    Un = 1/racine(n)

    La série associée à Un diverge.

    Vn = ln(n^2 +1)/racine(n+1)

    Un/Vn a une limite infinie en +infini, donc j´en déduit qu´à partir d´une certain rang, Un> Vn.

    Donc Vn diverge
    C'est plutôt Vn/Un qui tend vers +infini, donc Vn > Un à partir d'un certain rang. Et donc effectivement diverge.
    Fais aussi attention, dans tes notations, il y a souvent confusion entre la suite et la série.

  4. #3
    christophe_de_Berlin

    Re : converge de séries positives

    merci de ta réponse. Mon problème est (ou plutôt était jusqu´à ta réponse) de savoir s´il SUFFIT pour prouver qu´une suite majore l´autre À PARTIR D´UN CERTAIN RANG, que la limite en l´infini du rapport des suites est nulle (ou infinie, selon le rapport)


  5. #4
    matthias

    Re : converge de séries positives

    Donc c'est juste un problème de suites, pas de séries. Si tu sais exprimer de manière formelle ce que signifie qu'une suite tend vers +infini, tu verras que c'est en fait évident.

  6. #5
    christophe_de_Berlin

    Re : converge de séries positives

    En fait cette limite n´a même pas besoin d´être nulle, il suffit qu´elle soit <= 1 non?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    matthias

    Re : converge de séries positives

    Ca dépend de quoi tu parles.
    Si tu veux dire que Un/vn tend vers l<=1 implique Un <= Vn à partir d'un certain rang, c'est faux. Il faudrait imposer l<1 (strictement).
    Si tu veux dire que étant donné deux suites à termes positifs Un et Vn, sachant que somme(Un) diverge, Un/Vn tend vers l<=1 alors somme(Vn) diverge, c'est vrai, mais c'est une condition trop forte, il suffit en fait que Un/Vn soit bornée (c'est à dire Un = O(Vn))

  9. #7
    christophe_de_Berlin

    Re : converge de séries positives

    Bon t´as raison, je ne me suis pas exprimé clairement, effectivement, le cas qui m´intéressait n´avait avoir avec les sommes que marginalement.

    La question était effectivement de savoir quand une suite majore l´autre, donc la première partie de ta réponse. Mais pourquoi faut-il que la limite soit strictement <? Si Un tend vers Vn par valeurs négatives, Un reste inférieur à Vn non? Tout du moins c´est ce que je me dis "intuitivement"

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  11. #8
    matthias

    Re : converge de séries positives

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    Mais pourquoi faut-il que la limite soit strictement <? Si Un tend vers Vn par valeurs négatives, Un reste inférieur à Vn non?
    Ca peut marcher pour l=1 bien sûr (mais ce n'est pas une condition suffisante), mais si tu sais déjà que Un inférieur à Vn, ce n'est pas la peine de passer par la limite du rapport pour le montrer ...

  12. #9
    christophe_de_Berlin

    Re : converge de séries positives

    Oui, je me suis encor une fois mal exprimé: Je veux dire: Si Un/Vn tend vers 1 par valeurs négatives, alors Un reste inférieur à Vn non?

  13. #10
    matthias

    Re : converge de séries positives

    Oui, mais bon c'est pareil, tu es en train de dire que tu sais que Un/Vn < 1, en ce cas non plus la limite ne t'intéresse pas, tu en déduis directement Un < Vn.
    Ce que tu pourrais dire c'est que si Un et Vn convergent, sont positives et Un/Vn < 1 alors lim(Un) <= lim(Vn), mais ça ne n'est pas ça qui t'intéresse.

  14. #11
    christophe_de_Berlin

    Re : converge de séries positives

    euh... oui t´as raison...

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