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la sphère volume max pour surface min.



  1. #1
    papiblue

    Question la sphère volume max pour surface min.


    ------

    Je chereche une démonstration simple pour comprendre pourquoi on trouve partout, comme évident, que la sphère a un volume max pour une surface min.
    Si on prend un cube à l'intérieur duquel se trouve une sphère tangente aux côtés du cube, le côté du cube est D, le diamètre de la sphére est D, on trouve le même rapport :
    S/V = 6 (en prenant D=1).
    C'est peut-être simple mais je ne trouve pas...qui peut m'aider, svp
    Michel

    -----

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  3. #2
    zoup1

    Re : la sphère volume max pour surface min.

    Si tu compares avec D=1, tu ne te places pas à volume fixé.
    Il faut faire la comparaison des surfaces avec un même volume.
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  4. #3
    martini_bird

    Re : la sphère volume max pour surface min.

    Salut et bienvenue,

    pour une sphère, le rapport de la surface au volume vaut et est donc inférieur à 6/D. Sinon, le fait que la sphère réalise une surface minimale peut être relié à la courbure moyenne, nulle en tout point. Voir par exemple ici. Celà n'a rien de trivial du point de vue mathématique!

    Cordialement.

  5. #4
    zoup1

    Re : la sphère volume max pour surface min.

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut et bienvenue,

    pour une sphère, le rapport de la surface au volume vaut et est donc inférieur à 6/D. Sinon, le fait que la sphère réalise une surface minimale peut être relié à la courbure moyenne, nulle en tout point. Voir par exemple ici. Celà n'a rien de trivial du point de vue mathématique!

    Cordialement.
    Je pense que cela c'est le calcul qu'a fait papiblue et sa conclusion était que 6/D=3/R Je ne suis pas sûr qu'on puisse lui reprocher d'imaginer que D=2R. Mais en faisant cette comparaison, on ne s'affranchi pas des aspects liés à l'échelle. Il faut raisonner à volume constant ce qui n'est justement pas réalisé quand on fait D=2R.
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  6. #5
    martini_bird

    Re : la sphère volume max pour surface min.

    Citation Envoyé par zoup1
    Je pense que cela c'est le calcul qu'a fait papiblue et sa conclusion était que 6/D=3/R Je ne suis pas sûr qu'on puisse lui reprocher d'imaginer que D=2R. Mais en faisant cette comparaison, on ne s'affranchi pas des aspects liés à l'échelle. Il faut raisonner à volume constant ce qui n'est justement pas réalisé quand on fait D=2R.
    Arf... Oubliez la première partie de mon message...

    Dans le cas du cube: tandis que pour la sphère

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    zoup1

    Re : la sphère volume max pour surface min.

    Je voudrais pas faire l'enquiquineur mais moi je trouve plutot quelquechose comme ce qui me semble plus proche du facteur 6 pour le cube...
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

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  10. #7
    martini_bird

    Re : la sphère volume max pour surface min.

    Citation Envoyé par zoup1
    Je voudrais pas faire l'enquiquineur mais moi je trouve plutot quelquechose comme ce qui me semble plus proche du facteur 6 pour le cube...
    Ah ben oui, j'avais taper ^(3/2) au lieu de ^(2/3) sur ma calculatrice...

    Merci pour la correction.

  11. #8
    papiblue

    Re : la sphère volume max pour surface min.

    Merci pour vos réponses

  12. #9
    Démostène

    Re : la sphère volume max pour surface min.

    Salut,
    Juste pour rigoler :
    Ce ne serait pas la bouteille de Kleyn le plus grand volume pour une surface donnée?
    @+
    " Devant l'homme, la forêt, derrière, le désert" Chat-tôt-brillant.

  13. #10
    leibniz

    Re : la sphère volume max pour surface min.

    Une façon de démontrer cela consiste à redémontrer dans un premier temps le théorème isopérimétrique qui énonce qu'une action circulaire engendre un périmètre minimum pour une surface maximum. Ce théorème a été élaboré par les Grecs puis redécouvert par Nicolas de Cuse. Il est à l'origine du principe de moindre action.

    Ensuite en utilisant le même théorème on démontre que la tranformation d'un cercle par une action circulaire engendre une sphère dont la surface est minimum pour un volume maximum.

  14. #11
    shokin

    Re : la sphère volume max pour surface min.

    Discussion déplacée dans le forum mathématique (je m'étonne que personne d'autre ne l'ai fait).

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  15. #12
    shokin

    Re : la sphère volume max pour surface min.

    Une première apprche serait l'aire maximale pour un périmètre minimal.

    L'aire et le polygone d'un polygone régulier à n (n>2) côtés. En faisant tendre n vers l'infini, .

    Je ne sais pas par contre si c'est possible avec les polyèdres réguliers, sachant qu'il n'y en a que cinq.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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  17. #13
    martini_bird

    Re : la sphère volume max pour surface min.

    Salut,

    Citation Envoyé par leibniz
    Ce théorème a été élaboré par les Grecs puis redécouvert par Nicolas de Cuse.
    Ouais bof, Nicolas de Cuse avec sa doctrine de la "concordance contraire" n'a pas développé grand chose à ce sujet. J'aurais plutôt cité Bernoulli.

    Citation Envoyé par leibniz
    Ensuite en utilisant le même théorème on démontre que la tranformation d'un cercle par une action circulaire engendre une sphère dont la surface est minimum pour un volume maximum.
    Je ne suis pas certain que ce soit aussi simple.

    Cordialement.

  18. #14
    martini_bird

    Re : la sphère volume max pour surface min.

    Je me corrige:

    Citation Envoyé par martini_bird
    Sinon, le fait que la sphère réalise une surface minimale peut être relié à la courbure moyenne, nulle en tout point.
    La sphère est de courbure constante non-nulle et n'est donc pas une surface minimale au sens mathématique du terme. Mais elle vérifie l'inégalité isopérimètrique.

    Sorry.

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