Question de notations : max/sup, min/inf

[360no2]

Voilà je pense que tout est dans le titre, je voudrais savoir dans quels cas on emploie chacune des notations ; par exemple, sur un intervalle, lorsqu'on veut la plus haute valeur d'une fonction, on utilise max ou sup comme notation ?
A froid j'aurais dit "max", mais je viens de retomber sur un cours sur les intégrales, ou la plus haute valeur de la valeur absolue de f, sur [a,b] était notée "Sup |f|"
Après même question pour un ensemble de réels : max ou sup de {0,5,36,145,-565} ?
A moins que les notations ne soient équivalentes, mais à ce moment là, il faudrait que je demande à mon prof de maths pourquoi il m'a rayé un "sup" pour écrire "max" sur le dernier devoir qu'il m'a rendu...
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[invite85d52e4d]

Bah on dit par exemple que
sup(f;g)(x) = max(f(x);g(x)) ou
inf(f;g)(x) = min (f(x);g(x))

[Coincoin]

Salut,
Un max appartient forcément à l'ensemble, contrairement à un Sup (pareil pour Min et pour Inf). Mais si le Max existe alors c'est aussi le Sup...
Par exemple : max([0;1])=1=sup([0,1]) mais sup([0,1[)=1 alors que max([0,1[) n'existe pas.

[C.B.]

Les définitions :

Le max d'un ensemble est le plus grand élément de cet ensemble

Le sup d'un ensemble est le plus petit majorant de cet ensemble
(a est un majorant de l'ensemble X si et seulement si a est plus grand que tous les éléments de X)

De la même manière :

Le min d'un ensemble est le plus petit élément de cet ensemble

L' inf d'un ensemble est le plus grand minorant de cet ensemble
(a est un minorant de l'ensemble X si et seulement si a est plus petit que tous les éléments de X)

Quelques propriétés :

Le max et le min d'un ensemble (s'ils existent) appartient toujours a cet ensemble.

Le sup ou l'inf d'un ensemble (s'ils existent) n'appartiennent pas nécessairement à cet ensemble.

Toute partie de R qui a un majorant admet un sup dans R
Toute partie de R qui a un minorant admet un inf dans R

Toute partie de admet un sup et un inf dans

Si a=max X alors a =sup X
Si a =sup X et a appartient à X alors a = max X
Si a =sup X et a n'appartient pas à X alors X n'a pas de maximum

(même chose en remplaçant max par min et sup par inf)

Un maximum est une borne sup qui appartient à l'ensemble.

Si le max X est définit alors sup X est définit et max X = sup X

[A voir en vidéo sur Futura]

[360no2]

donc sup pour une fonction et max pour ses valeurs ?
merci bien, je me sens tout con d'un coup...

edit : 2 nouvelles réponses à lire le temps de poster celle là...
merci à tous

[Coincoin]

Je ne suis pas d'accord avec Mercuryrev... Lis la réponse très complète de CB.

[C.B.]

donc sup pour une fonction et max pour ses valeurs ?

Non, pas vraiment, en fait le max est un cas particulier du sup (celui dans lequel le sup appartient à l'ensemble)
De même, le min est un cas particulier de l'inf.

Toutefois, pour en ensemble fini et totalement ordonné, sup et max reviennent au même.

[360no2]

ok merci bien @ vous tous

(apparemment y a une épidémie de posts simultanés depuis 5 minutes )

[invite3bc31a43]

Merci beaucoup C.B. , grace a toi j'ai enfin compri la mince subtilité qu'il y avait entre le Max et Le Sup.
Pour voir si j'ai compris : un segment a forcement un sup et ce sup est un max.
un intervalle ouvert , s'il contient un sup , ne contient pas de max

[invite85d52e4d]

Désolé, faites pas attention à ce que j'ai écris

[C.B.]

Merci beaucoup C.B. , grace a toi j'ai enfin compri la mince subtilité qu'il y avait entre le Max et Le Sup.

De rien

Pour voir si j'ai compris : un segment a forcement un sup et ce sup est un max.
un intervalle ouvert , s'il contient un sup , ne contient pas de max

C'est exactement cela.

[madininais]

J'aurai plutot employer le mot "admet" a la place de "contient" pour le sup ^^

[Zenlubrill]

Bonjour, voila je suis en prépa et j'ai un exercice dont voici l'intitulé
f et g deux fonctions réelles, montrer que
Sup(f,g)=0.5(f+g+abs(f+g))
Inf(f,g)=0.5(f+g-abs(f-g))
puis je dois en déduire que f=(f+)-(f-) et abs(f)=(f+)+(f-)

abs designant valeur absolue

voila, j'ai a compris les notations, et je sais que sup(f,g) est la fonction qui à x associe max(f(x),g(x)) mais apres je ne vois pas bien comment lancer la démonstration
merci par avance pour votre aide !