Equation différentielle et polynômes de Laguerre

[DarK MaLaK]

Bonjour, je ne connais pas les polynômes de Laguerre et j'ai énormément de mal à retrouver la solution de l'équation différentielle suivante (je vous donne les résultats copiés/collés à trouver avec...) :



Cette équation est bien connue en mathématiques, et les propriétés suivantes peuvent être démontrées rigoureusement.

1. Pour chaque valeur de l, nous obtenons un ensemble infini de solutions normalisables repérées par un entier n'=0,1,... :



où est appelé polynôme de Laguerre de degré n'. Il a n' zéros réels entre et .

2. Ces solutions correspondent à des valeurs particulières de :




Voilà, la phrase soulignée montre que mon cours occulte toute la partie "résolution de l'équation" et j'aimerais quelques pistes parce que je sèche pour retrouver ce résultat.

Merci d'avance pour votre aide.
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[DarK MaLaK]

Personne n'a de point de départ ? Je ne demande pas forcément qu'on me fasse toute la résolution.

[DarK MaLaK]

Petit up...

[God's Breath]

Bonjour,

On utilise une méthode de coefficients indéterminés.
On considère un entier et des constantes , ce qui permet de définir la fonction : où .

On reporte dans l'équation différentielle, on obtient un système aux inconnues , et on démontre qu'il y a effectivement une solution pour .

[A voir en vidéo sur Futura]

[DarK MaLaK]

Bonjour à toi et merci de ton aide, God's Breath. Je ne connais pas la méthode que tu proposes. Est-elle valable pour résoudre toute équation du second ordre qui admet une solution analytique ? Est-ce qu'elle permet de voir si on peut trouver une solution analytique ? De plus, je ne vois pas bien pourquoi on s'arrêterait à l'ordre n', d'autant plus que dans mon cours, c'est une quantité qui semble avoir un sens physique concret... Bref, je vais chercher des informations sur cette méthode, mais si tu pouvais développer un peu plus entre temps, ce serait sympa.