Coefficients des polynômes de Laguerre

[invite252213ee]

Bonjour à tous,
Voila j'ai un soucis avec les coefficients de Laguerre.
J'ai un tp à faire sous scilab. Le but est donc de trouver les coefficients des polynomes de Laguerre de degré n en utilisant la relation d'équivalence:

Dans un premier temps on doit ecrire un algorithme afin de trouver les coefficients et de dessiner plusieurs graphiques pour des valeurs de n=2...6. Ensuite on nous pose quelques question sur les zeros. Rien de compliqué jusque là .


Dans un deuxieme temps on nous donne une matrice une matrice tridiagonale definit comme suit:

On nous demande de chercher les valeurs propres pour n=2...6. Et on nous demande d'observer une particularité.
On remarque rapidement que les valeurs propres correspondent aux zeros des polynomes de laguerre.
Voila, là ou je bloque c'est pourquoi? Je ne vois pas le rapport entre cette matrice tridiagonale et les polynomes de laguerre.

Et donc je ne peux pas faire la troisieme partie qui nous demande d'utiliser ce resultat afin de creer un nouvel algorithme amelioré du premier pour trouver les coefficients de laguerre de degré n.

Voila ci quelqu'un peut m'aider je lui en serait tres reconnaissant. Merci ^^
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[invite6f25a1fe]

Je ne connais pas trop ces polynomes, mais si les valeurs propres sont liées aux racines des polynomes de Laguerre, je ne vois qu'une explication : Les polynomes de Laguerre doivent intervenir dans le polynome charactéristique de ta matrice.

As-tu essayé de le calculer ? On ne peut peut être pas faire un calcul direct, mais sur une matrice tridiagonale, il me semble que les recurrences fonctionnent bien. Tu pourrais d'ailleurs essayer de retomber sur la récurrence de définition des polynomes de Laguerre.

Mais bon, c'est qu'une idée que je lance comme ca, je n'ai pas essayé de faire les calculs, mais ca me paraitrait intuitif de tenter de faire comme ca, non ?

[invite6f25a1fe]

Je pense que l'idée que j'ai donné est bonne : essaye un développement sur la dernière ligne de ta matrice. Ce développement ne comportera que 2 termes, l'un amenant une relation du type , et l'autre étant à déterminer (a priori faisant inervenir ).

Quand on regarde la définition par récurrence des polynomes de Laguerre, ca semble coller (sauf erreur de ma part)