Equation de polynômes

[inviteea5db5e2]

Bonjour,

je vous soumets mon problème : l'exercice étudie les couples (A,B) de polynômes réels qui satisfont l'équation :

1-[A(x)]² = (1-x²) [B(x)]²

J'ai un sérieux doute sur une question qui doit montrer que si b est une racine de B, alors c'est aussi une racine de A'.

on écrit que :

1-[A(b)]² = (1-x²) [B(b)]²
<=>[A(b)]²=1
=>A(b)=1 ou A(b)=-1
d'où A'(b)=0

En fait cette démo ne vient pas de moi... Et elle est manifestement fausse. Voire stupide... puisque 1 ou -1 ne caractérisent pas du tout une fonction constante.

Mais en exprimant A et en le dérivant je n'arrive à rien de concluant...

Est-ce que la solution consiste bel et bien à exprimer A en fonction de B, à dériver et prendre la valeur b qui annule B ? le seul problème c'est qu'il y a du B' qui intervient dans cette dérivée... et b n'annule pas B' hélas !

Je m'y replonge en attendant vos conseils.

Merci d'avance pour votre aide.

MS
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[invitebb921944]

Bonjour.
Effectivement, cette "démonstration" est complètement fausse.
D'abord, quand on évalue un polynôme en b, on remplacer tous les x par b.
Il ne faut pas écrire mais plutôt . Ensuite, cette égalité bien qu'elle soit tout à fait correcte est une égalité de nombre et non de polynômes.
Ton ami déduit du fait que b est racine de B que A(b)=1 ou -1, c'est vrai mais en déduire que A'(b)=0 est faux. En effet, A(b) (le polynôme A évalué en b) est un nombre, donc évidemment si on le dérive on va trouver 0. Nous ce que l'on veut, c'est (la dérivée du polynôme A), (évaluée en b) et non (la dérivée), (du polynôme A évalué en b).

Ta méthode de dériver les deux membres de ton égalité est la bonne. Comme tu le dis, b n'est pas une racine de B' mais si tu ne t'es pas trompé, B' est toujours multiplié par le polynôme B dans ta dérivée. Ainsi, les termes ayant B (et B' donc) en facteur s'annulent et tu peux en déduire que b est racine de A' à condition que tu aies bien justifié avant que b n'est pas racine de A...

[inviteea5db5e2]

Merci Ganash !

pour le x non-remplacé par b c'est moi qui ai mal recopié. :S Puis efectivement il suffisait de dériver (sans se tromper^^) et on trouvait bien que A'(b)=0.

C'était pas si dur que ça finalement... Je vous ai encore dérangés pour pas grand chose...