Bonjour, j'ai un problème avec l'exercice suivant:
Montrer que pour tout entier n >=2 et tout a de R,
Pn=X^n sin a - X sin (na) +sin (n-1)a est divisible par A=X^2-2X cos a +1
J'avais pensé à chercher les racines x et x' de A puis montrer que Pn(x)=Pn(x')=0 mais je ne m'en sorspasdans les calculs...
Merci d'avance pour votre aide
Je ne vois pas la difficulté : les racines du polynôme du 2ème degré sont exp(ia) et exp(-ia).
Si tu les portes dans l'équation de degré n en remplaçant les sinus par leurs expressions complexes, ça se déroule tout seul.
Merci beaucoup pour votre aide mais je ne m'en sors pas... voià ce que j'ai fait:
Pn(exp(ia))=exp(i(na))sina- exp(ia) sin (na)+ sin (n-1)a
=exp(i(na) Im(exp(ia))-exp(ia) Im exp(ina) +Im(exp(n-1)a)
mais après je ne vois pas comment continuer...
Merci encore
Peut-être que tu peux faire mieux que remplacer sin(a) par Im(e^(ia)). Tu connais les formules de linéarisation d'Euler ?
Pourquoi t'embêter avec les parties imaginaires ?Envoyé par yonyon
sin(a) = 1/2 [exp(ia) - exp(-ia)]
et puis c'est tout.
avec un i au dénominateur...
Argh ! Mais ça se simplifie !avec un i au dénominateur...
