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polynomes



  1. #1
    yonyon

    polynomes


    ------

    Bonjour, j'ai un problème avec l'exercice suivant:
    Montrer que pour tout entier n >=2 et tout a de R,
    Pn=X^n sin a - X sin (na) +sin (n-1)a est divisible par A=X^2-2X cos a +1
    J'avais pensé à chercher les racines x et x' de A puis montrer que Pn(x)=Pn(x')=0 mais je ne m'en sorspasdans les calculs...
    Merci d'avance pour votre aide

    -----

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : polynomes

    Je ne vois pas la difficulté : les racines du polynôme du 2ème degré sont exp(ia) et exp(-ia).
    Si tu les portes dans l'équation de degré n en remplaçant les sinus par leurs expressions complexes, ça se déroule tout seul.

  4. #3
    yonyon

    Re : polynomes

    Merci beaucoup pour votre aide mais je ne m'en sors pas... voià ce que j'ai fait:
    Pn(exp(ia))=exp(i(na))sina- exp(ia) sin (na)+ sin (n-1)a
    =exp(i(na) Im(exp(ia))-exp(ia) Im exp(ina) +Im(exp(n-1)a)
    mais après je ne vois pas comment continuer...
    Merci encore

  5. #4
    matthias

    Re : polynomes

    Peut-être que tu peux faire mieux que remplacer sin(a) par Im(e^(ia)). Tu connais les formules de linéarisation d'Euler ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Jeanpaul

    Re : polynomes

    Citation Envoyé par yonyon
    Merci beaucoup pour votre aide mais je ne m'en sors pas... voià ce que j'ai fait:
    Pn(exp(ia))=exp(i(na))sina- exp(ia) sin (na)+ sin (n-1)a
    =exp(i(na) Im(exp(ia))-exp(ia) Im exp(ina) +Im(exp(n-1)a)
    mais après je ne vois pas comment continuer...
    Merci encore
    Pourquoi t'embêter avec les parties imaginaires ?
    sin(a) = 1/2 [exp(ia) - exp(-ia)]
    et puis c'est tout.

  8. #6
    ginkoTA

    Re : polynomes

    Citation Envoyé par Jeanpaul
    sin(a) = 1/2 [exp(ia) - exp(-ia)]
    avec un i au dénominateur...

  9. Publicité
  10. #7
    Jeanpaul

    Re : polynomes

    Citation Envoyé par ginkoTA
    avec un i au dénominateur...
    Argh ! Mais ça se simplifie !

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