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suite qui converge vers V2




  1. #1
    yonyon

    suite qui converge vers V2

    Bonjour j'ai un problème avec l'exercice suivant:
    Le but de cet exo est d'étudier une méthode permettant des valeurs approchées de V2 en mettant en évidence une suite dont V2 est limite. On pourra utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées de s termes successifs de la suite mais évidemment pas pour obtenis r une valeur approchée de V2 lui même... On pourra parcontre utiliser en les justifiant des encadrements usuels comme 1<V2<3/2
    Soit u0=2 et u n+1=(2+un)/(1+un)
    1) Montrer que un [0;2] et trouver la limite de cette suite si elle converge, c'est bon: si elle converge, elle converge vers un pt fixe de f(x)=(2+x)/(1+x), donc elle converge vers V2

    2) a) Justifier que u (n+1)-V2=[(1-V2)/(1+ un)](un-V2), c'est bon
    en déduire que |u(n+1)-V2| <= |1-V2| |un-V2|, c'est bon

    b) puis que |un-V2|<= |1-V2|^n |u0-V2|, c'est là que je bloque, comme je dois obtenir du |1-V2|^n, j'ai pensé faire:
    produit de k=0 à n de |u(k+1)-V2|<=|1-V2|^n produit de k=0 à n de |uk-V2| mais là je ne vois pas comment arriver au résultat

    c)Montrer que la suite (un) converge préciser sa limite, je sais que |un-V2| <= à qqchose qui tend vers 0 donc un tend vers V2, c'est bon!

    3)a)Montrer que, pour tout entier naturel n : |un-V2|<=(1/2)^(n-1), je ne vois pas comment faire
    En déduire un rang n0 à partir duquel un est une approximation de V2 à 10^-3 près (on pourra déterminer le rang n0 à partir duquel (1/2)^(n-1)<=10-3), ça j'ai trouvé, j'ai n0=11

    b) Justifier l'encadrement : 1.4<V2<1.5 , je ne vois pas trop comment faire

    c) Cette question est destinée à préciser la rapidité de la convergence de la suite u. Pour cela on considère la suite v définie, pour tout entier naturel n, par vn=(un-V2)/(un+V2)
    Montrer que v est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme v0, je n'y arrive pas, j'exprime vn+1/vn mais je n'arrive pas à obtenir qqchose qui ne dépend pas de n
    En déduire l'égalité:
    vn=(-1)^n(3-2V2)^n+1, puis la majoration :
    |un-V2|<=4*(0.2)^n+1

    Merci d'avance pour votre aide

    -----


  2. #2
    matthias

    Re : suite qui converge vers V2

    Citation Envoyé par yonyon
    b) puis que |un-V2|<= |1-V2|^n |u0-V2|, c'est là que je bloque, comme je dois obtenir du |1-V2|^n, j'ai pensé faire:
    produit de k=0 à n de |u(k+1)-V2|<=|1-V2|^n produit de k=0 à n de |uk-V2| mais là je ne vois pas comment arriver au résultat
    Il y a de l'idée.
    Tu as plusieurs solutions.
    Soit tu multiplies les |U(k+1)-V2| / |U(k)-V2|, mais alors il faut montrer que les |U(k)-V2| sont non nuls.
    Soit tu fais une récurrence toute bête.

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