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[TS]une suite qui converge vers e



  1. #1
    ggsibarite

    [TS]une suite qui converge vers e

    1) un encadrement de e^x

    a) µ est la fonction définie sur R par µ(x)=e^x -(1+x) . etudier ses variations
    b) en déduire que pour tout réel x , 1+x inférieur ou egal a e^x [1]
    c) a partir de l' inegalité [1] , démontrer que pour tout réel x inférieur a 1 , e^x inférieur ou egal a 1/(1-x) [2]

    2) un encadrement du nombre e

    n désigne un entier naturel non nul

    a) déduire de l' inégalité [1] , que (1+1/n)^n inférieur ou egal a e
    b) déduire de l' inégalité [2] , que e inférieur ou egal à (1+1/n)^(n+1)

    3) une suite qui converge vers e

    U est la fonction définie pour tout entier n supérieur ou egal a 1 par : Un = (1+1/n)^n

    a) démontrer que pour tout entier n supérieur ou egal a 1 , 0 inférieur ou egal à e-Un inférieur ou egal a 3/n

    b) en déduire que la suite U converge vers e
    c) avec la calculatrice , donner une valeur approchée de U100 , U1000 , U10000

    voila , je dois rendre ce dm demain , desolé de le poster si tardmais je pensais que jallais trouver avant
    Je suis bloquer a la question 1c et sur tout ce qui s' en suit
    merci de votre précieuse aide !

    -----


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  3. #2
    DSCH

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    Citation Envoyé par ggsibarite Voir le message
    1) un encadrement de e^x

    a) µ est la fonction définie sur R par µ(x)=e^x -(1+x) . etudier ses variations
    b) en déduire que pour tout réel x , 1+x inférieur ou egal a e^x [1]
    c) a partir de l' inegalité [1] , démontrer que pour tout réel x inférieur a 1 , e^x inférieur ou egal a 1/(1-x) [2]

    Je suis bloquer a la question 1c et sur tout ce qui s' en suit
    merci de votre précieuse aide !
    Ce qui te gêne est peut-être que la lettre x ne désigne pas la même chose dans les questions b. et c. Reformule la question c. sous la forme suivante : « à partir de l' inegalité [1] , démontrer que pour tout réel , on a ». Il ne te reste plus qu'à choisir le bon en fonction de pour pouvoir appliquer le résultat du b.
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  4. #3
    ggsibarite

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    C bon , je viensd de comprendre , par contre , pourrais tui m' aider pour la suite ?

  5. #4
    DSCH

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    La question 2. est assez immédiate à partir des inégalités de la question 1. Je te laisse regarder.

    Dans la question 3., ne sois pas perturbé par le mot « fonction » ; il aurait été plus naturel d'employer le mot « suite » (même si une suite est un cas particulier de fonction, définie sur l'ensemble des entiers naturels). Notamment, il ne faut pas espérer utiliser des techniques propres aux fonctions d'une variable réelle (genre dérivation, etc.). En vérité, les résultats de la question 2. te donnent un encadrement du nombre . À partir de là, ce n'est pas difficile d'obtenir un encadrement de , et en travaillant un peu, on peut obtenir celui qui est demandé…
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  6. #5
    ggsibarite

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    Tu me dis que la question 2 est assez immdéiate mais j' ai beau grifonné plein de trucs , je ne trouve rien , pourrais tu mecrire le detail e ton calcul stp ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    DSCH

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    Citation Envoyé par ggsibarite Voir le message
    Tu me dis que la question 2 est assez immdéiate mais j' ai beau grifonné plein de trucs , je ne trouve rien , pourrais tu mecrire le detail e ton calcul stp ?
    Euh… je ne vais pas non plus faire l'exercice à ta place ! Il s'agit de trouver quelle valeur de x choisir pour que les inégalités de la question 1 donnent celles de la question 2 (indication : ce n'est pas exactement le même choix pour a. et pour b.). Bien sûr, il se peut qu'il y ait ensuite une ou deux lignes de calcul à faire pour aboutir précisément à l'inégalité demandée. Pour le a., c'est vraiment facile. Pour le b., c'est peut-être un peu moins évident, mais une fois qu'on a fait le a., on peut s'en inspirer…

    Je te laisse chercher.
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

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  10. #7
    ggsibarite

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    Bon alors je dois etre vraiment nul parce que je ne vois vraiment pas

  11. #8
    gwendaelle

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    Bonjour j'ai aussi le même exercice j'ai reussi les 2 premières questions mais je bloque à la 3-1

    j'arrive à démontrere facilment la première partie de l'inégalité d'après 2 a) en revanche je bloque qur la partie e- un < (3/n).Auriez vous quelques pistes à me proposer? Merci d'avance

    PS: ggsibarite il suffit de changer ton x en essayant pour cela de voir dans le b comment tu peux faire pour ne plus avoir que e (inspire toi du a comme l'a dit DDSC tu as juste a changé la variable dans le pett a c'est tout simple)

  12. #9
    DSCH

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    Citation Envoyé par gwendaelle Voir le message
    Bonjour j'ai aussi le même exercice j'ai reussi les 2 premières questions mais je bloque à la 3-1

    j'arrive à démontrere facilment la première partie de l'inégalité d'après 2 a) en revanche je bloque qur la partie e- un < (3/n).Auriez vous quelques pistes à me proposer? Merci d'avance

    PS: ggsibarite il suffit de changer ton x en essayant pour cela de voir dans le b comment tu peux faire pour ne plus avoir que e (inspire toi du a comme l'a dit DDSC tu as juste a changé la variable dans le pett a c'est tout simple)
    DSCH, merci !

    Bon, tu as obtenu la première partie de l'encadrement d'après 2. a. ; et bien tu vas obtenir la seconde partie d'après 2. b. (et peut-être 2. a. aussi mais on verra plus tard) ; cependant, ce ne sera pas aussi direct. Une indication : pour tout entier , on a
    .
    Dernière modification par DSCH ; 06/11/2007 à 13h28. Motif: précision
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  13. #10
    gwendaelle

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    oups désolé DSCH!!

    Donc j'ai suivi tes indications et j'arriverais à

    e - un < 1+ 1/n
    et là peut-être que je dois utilisé 2 a? seulemnt tout ce que je sais de cette expression d'après 2 a) c'est 1+ 1/n < e^(1/n)

    désolé pour les expressions peu compréhensibles!

  14. #11
    DSCH

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    Citation Envoyé par gwendaelle Voir le message
    Donc j'ai suivi tes indications et j'arriverais à

    e - un < 1+ 1/n
    Hmmm, je ne vois pas comment tu arrives à ça. Est-on d'accord pour partir de
    ?
    Que faire ensuite pour arranger le membre de droite ?
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  15. #12
    gwendaelle

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    je n'étais pas partie en effet de cette expression!

    il faut donc mettre (1+1/n)^n en facteur et on arrive à

    e-un < 1/n (1+ 1/n )^n si je ne me suis pas trompée...

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  17. #13
    DSCH

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    Citation Envoyé par gwendaelle Voir le message
    je n'étais pas partie en effet de cette expression!

    il faut donc mettre (1+1/n)^n en facteur et on arrive à

    e-un < 1/n (1+ 1/n )^n si je ne me suis pas trompée...
    Oui, il reste à essayer de majorer le membre de droite par un truc plus simple (on aimerait obtenir 3/n). Bon, 1/n, c'est assez simple, mais si on pouvait majorer , ce serait pas mal…
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  18. #14
    gwendaelle

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    Je m'excuse tu vas surement me trouver idiote mais qu'entends tu par majorer?

  19. #15
    gwendaelle

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    tu veux peut-être dire que je dois majorer (1+1/n)^n par e car on sait que
    (1+ 1/n)^n < e ?

  20. #16
    DSCH

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    Citation Envoyé par gwendaelle Voir le message
    tu veux peut-être dire que je dois majorer (1+1/n)^n par e car on sait que
    (1+ 1/n)^n < e ?
    C'est ça. Tu obtiens alors à peu de chose près la majoration voulue (tu dois savoir que e vaut environ 2,7, donc il est inférieur à 3).
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  21. #17
    gwendaelle

    Red face Re : [TS]une suite qui converge vers e

    oK MERCI BEAUCOUP!!

  22. #18
    Kpi

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    j'ai réussi à répondre à toutes les questions sauf la 2a et 2b à chaque fois jessaye de remplacer e^x pour n'avoir plus que e mais je n'y arrive pas


    merci d'avance je dois aussi le rendre comme DM

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  24. #19
    DSCH

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    Décidemment, ce sujet semble avoir beaucoup de succès sur ce forum (c'est le troisième fil que je lis qui lui est consacré !). N'oublie pas les propriétés algébriques de la fonction exponentielle : que mettre à la place du point d'interrogation pour qu'on ait, pour tout réel (non nul), ?
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  25. #20
    gwendaelle

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    pour 2 a) tu n'as qu'à remplacer x par 1/n et tu vois ce que ça fait

  26. #21
    Kpi

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    je suis désolée j'en ai aucune idée


  27. #22
    Kpi

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    MERCI BEAUCOUP je viens de trouver

    j'ai remplacé par 1/N merci
    je vien dy passer l'aprèm

    alor qu'en faite ça allait

  28. #23
    Ryuken

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    dans la question 2, il aurait fallu que vous preniez le probleme a l'envers, c'est a dire :

    (1+1/n)^n < e , on veut retrouver [1] , qui dit (1+x) < e^x ,
    donc la directemnet on remplace x par <...> et on voit ce que ca fait...
    de meme pour l'autre ...

  29. #24
    Vareth

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    Citation Envoyé par gwendaelle Voir le message
    Je m'excuse tu vas surement me trouver idiote mais qu'entends tu par majorer?
    Qu'est ce qu'une majoration? J'ai consulter le dictionnaire, il est écrit augmentation. C'est donc ajouté le même terme de chaque côtés de l'inégalité?
    Si ce n'est pas ça, peux tu me donner un exemple de majoration n'ayant aucun rapport avec mon sujet, pour que je comprenne de quoi il s'agit.

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  31. #25
    Poloxd8

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    Comment montre on que 1+x<ou=e^x , apres avoir dérivé la fonction ?

  32. #26
    gg0

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    Quel rapport avec le sujet ?

    Il y a de nombreuses façons, par exemple étudier la fonction pour en trouver le signe.
    Si tu sais ce qu'est une fonction convexe, tu peux chercher quelle est la tangente à la courbe de l'exponentielle en A(0;1).

    Cordialement.

    Rappel : C'est impoli de s'immiscer dans une conversation pour parler d'autre chose !

  33. #27
    Poloxd8

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    Regardez au tout début, c'est juste la question 1, b) ...

  34. #28
    gg0

    Re : [TS]une suite qui converge vers e

    Et la question 1,b) suit de près la question 1,a) qui dit ce qu'il faut faire. Alors pourquoi poser la question alors qu'il suffit de faire ? La question 1, b) est évidente quand on a fait la précédente ...

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