Probabilité - Loi

[invite32a69dac]

Bonsoir,

Je suis bloqué sur un exercice dont l'énoncé est en pièce jointe.
Je recherche plus la méthode que le résultat finale.

Question au préalable : Existe - t-il une technique pour calculer la loi d'un couple ?

Par rapport au sujet, voici ce que j'avais en tête.

1) Pour moi, il faut chercher P(X=k, Y=k) pour chaque k appartenant à N.
Comme l'ensemble est infini, on fait la somme.
Comme ceux sont des v.a. Indépendantes, on a : P(X=k, Y=k) = Somme [P(X=k)*P(Y=k)]
On retrouve le développement en série d'une exponentielle.

Est ce juste ?

2) Je ne vois pas trop.
L'espace d'état reste le même à savoir N.
Et on a : P(S=k)=Somme[P(X=k,Y=k)]

Comment continuer ?


Merci à vous !
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[invite32a69dac]

Je reste à votre disposition pour toutes éventuelles questions.

Cordialement

[gg0]

Bonsoir.

Je ne comprends pas trop ce que tu expliques : " P(X=k, Y=k) = Somme [P(X=k)*P(Y=k)]" ?? Sur quoi porte la somme, k est une valeur fixée.
Tu peux calculer immédiatement P(X=k, Y=k), puisque les variables sont indépendantes (que signifie la virgule, en fait ?).

Mais tout simplement la loi de (X,Y) est donnée par les P((X,Y)=(k,l)) où k et l sont des entiers. Et ça se calcule immédiatement.

Pour la question 2, il te suffit de calculer les P(X+Y=n) pour les entiers n. Il n'est pas difficile de décomposer X+Y=n en événements incompatibles de la forme (X,Y)=(k,l).

Bon travail !

[taladris]

Salut,

1) non la loi du couple, c'est plutôt déterminer P(X=k,Y=j) (2 lettres différentes). Je ne comprends pas pourquoi tu utilises une somme dans ta réponse.
2) Là, tu auras probablement besoin d'une somme ! L'événement (S=k) est l'union des événéments (X=j,Y=k-j), avec j variant dans l'ensemble des entiers naturels.
3) Pour l'espérance, tu peux soit utiliser le résultat de la question 2 et faire un calcul d'espérance, soit utiliser la formule E(X+Y)=E(X)+E(Y) (pour toutes v.a X et Y admettant une espérance) et la valeur de l'espérance d'une loi de Poisson (que tu dois probablement avoir dans ton cours).


Cordialement

Edit: gg0 a été le plus rapide...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite32a69dac]

Bonsoir,

Merci de votre aide.
Je vois que je suis encore confus sur ce chapitre.

Pour moi, La "virgule", c'est pour dire ET. P(X=k ET Y=j)

1) non la loi du couple, c'est plutôt déterminer P(X=k,Y=j) (2 lettres différentes).

Comme X et Y sont indépendants, il suffit de faire le produit de p(X=k) et p(Y=j) ?
C'est ce que vous vouliez dire gg0 ?

Remarque : J'avais pensé faire une somme car je me suis dit qu'on considérait un espace d'état infini. Donc ce raisonnement est faux du coup.

2) Je n'arrive pas à comprendre vos explications pour cette question.

Merci

[invite32a69dac]

Pour la question 2, il te suffit de calculer les P(X+Y=n) pour les entiers n. Il n'est pas difficile de décomposer X+Y=n en événements incompatibles de la forme (X,Y)=(k,l).

Je prends un exemple.
P(S=1)=P(X=0 et Y=1) +P(X=1 et Y=0)
C'est cela que vous vouliez dire ?

L'événement (S=k) est l'union des événéments (X=j,Y=k-j)

Je ne vois pas pourquoi Y=k-j.

Merci

[gg0]

Cest ça, mais essaie au moins S=3 ou 4, tu comprendras Taladris.

[invite32a69dac]

Pour la question 1, il suffit de faire le produit de p(X=k) et p(Y=j) ?

Pour la question 2,

P(S=3)=P(X=0 et Y=3) +P(X=3 et Y=0)+P(X=1 et Y=2) +P(X=2 et Y=1)

D'accord, je viens de comprendre pour Y=k-j

Maintenant du coup, comme k peut prendre toutes les valeurs de N, c'est pour cela que je dois faire la somme ?

avec j variant dans l'ensemble des entiers naturels.

Pourquoi j et pas k ?

Merci

[taladris]

Pourquoi j et pas k ?

Merci

Parce qu'on veut calculer P(S=k), donc k est fixé!