Décomposition d'idéaux en dimension de Krull 1.

[inviteef517f3e]

Bonjour,

dans le cadre de recherches pour mon TIPE, j'ai été amené à me poser la question suivante : dans des anneaux suffisamment « petits » (ie dont la dimension de Krull est 1) et sympathique (a priori intègre, en fait principalement de la forme où est un polynôme premier), existe-t-il une variante du théorème de Lasker-Nœther, dans le style « Tout idéal se décompose de comme intersection de puissances d'idéaux premiers ; de plus, il existe une décomposition minimale unique. » ?
C'est évident pour un anneau principal, et j'ai réussi à le prouver dans le cas de (preuve qui se généralise sans grande difficulté en prenant ) en me servant du lemme suivant : « Tout idéal s'écrit sous la forme avec . » Mais je ne pense pas pouvoir généraliser beaucoup plus par ce genre de bricolage.
Donc, est-ce que quelqu'un connaît un théorème de se style / aurait des idées de preuve / pourrait m'indiquer un contre-exemple s'il-vous-plait ?

Merci d'avance,
2000.
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[invite76543456789]

salut!
Ce que tu recherches c'est la décomposition en ideaux primaires. Les ideaux primaires sont une variante des ideaux premiers, ce sont les ideaux tels que si le produit a.b est dans ton ideal, alors l'une des puissances de a ou de b y est.
Exemple: (4) dans Z.
Note que le radical d'un ideal primaire est necessairement premier.
Dans un anneau noethérien tout ideal est intersection d'ideaux primiaires et les radicaux des ideaux primaires intervenant dans la décomposition sont uniques.

[inviteef517f3e]

Ce que tu recherches c'est la décomposition en ideaux primaires.

C'est ce que les anglophones appellent théorème de Lasker-Nœther. Dans le cas général, on ne peut pas passer des idéaux primaires aux puissances d'idéaux premiers, et la décomposition n'est pas totalement unique. Dans un anneau principal, les idéaux primaires sont exactement les puissances d'idéaux premiers. Mais, dans des cas du style de , il y a des idéaux primaires qui ne sont pas puissance de leur radical, (exemple : ) mais ils sont alors réductibles (dans ce cas, ). On a alors, je crois, unicité de la décomposition minimale. La question est de savoir si c'est une simple coïncidence, dans quel cas on devrait pouvoir trouver des anneaux issus de ne vérifiant pas ma conjecture, ou, s'il y a effectivement un tel théorème, quel est son domaine d'application.

[invite76543456789]

Ok, en fait si j'ai bien compris ce que tu recherche c'est un anneau de dimension 1 dans lequel il existe des ideaux dont une décomposition primaire réduite (elle n'est pas unique, ce sont seulement les radicaux des ideaux primaires intervenant dans une décomposition reduite qui le sont) contient des ideaux primaires qui ne soient pas des puissances d'ideaux premier? (en fait je suis pas sur de comprendre ce que tu appelle decomposition minimale, pour moi une decomposition minimale est réduite, i.e on ne peut enlever d'ideaux primaires de l'intersection, dans ce cas ton I etant lui meme primaire, I est une decomposition primaire de I qui est réduite).

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteef517f3e]

(en fait je suis pas sur de comprendre ce que tu appelle decomposition minimale)

J'avais en tête une définition dans le genre « décomposition réduite en idéaux irréductibles », même si en pratique je voulais surtout dire « décomposition qui respecte suffisamment de propriétés pour avoir une chance d'être unique dans les cas considérés ». En particulier j'imaginais assez bien une condition disant qu'on ne peut pas remplacer un des idéaux de la décomposition par un idéal dans lequel le premier soit inclus.

un anneau de dimension 1 dans lequel il existe des ideaux dont une décomposition primaire réduite […] contient des ideaux primaires qui ne soient pas des puissances d'ideaux premier

Plutôt des idéaux dont aucune décomposition primaire réduite ne contient que des puissances d'idéaux premiers.

Mais en fait, en regardant ma preuve de plus près, j'ai trouver un tel exemple assez simple : dans , l'idéal engendré par est primaire de racine , irréductible, mais contient strictement . Du coup je doute qu'il existe une manière intéressante de définir une décomposition minimale de manière à la rendre unique, même si je n'ai pas d'exemple concret d'idéal décomposable en au moins deux manière différentes sans qu'on puisse naturellement dire que l'une est "plus petite" que l'autre.