Bonjour,
Ma question est dans le titre, quelles sont les propriétés que l'on demandent à un espace topologique pour que ce soit une variété?
Et si quelqu'un dans les bonnes graces de la fée topologie pouvait jeter un oeil à ce fil http://forums.futura-sciences.com/ph...elativite.html
Bonjour,
UNe variété quoi? Algébrique? Differentielle?
UNe variété differentielle c'est (selon bourbaki et la grande majorité des auteurs), un espace topologique séparé paracompact localement homéomorphe à R^n et muni d'une classe d'atlas differentiables.
Pour une variété topologique tu enleves l'atlas.
Pour une variété algébrique, c'est... plus compliqué!
Paracompact? Un peu de repit, svp^^!
C'est quoi cette bebete la?
Et c'est separe ou separable?
La question porte sur une variété topologique, et essentiellement sur la propriété "à base dénombrable"
Le réponse que je propose dans l'autre fil est que cela dépend des auteurs, en ligne avec cet extrait du Wiki :
The (non-extended) long line or ray (...) is a one-dimensional topological manifold, with boundary in the case of the closed ray. It is first-countable but not second countable and not separable, so authors who require the latter properties in their manifolds do not call the long line a manifold[citation needed].
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Certains auteurs ont des conditions differentes mais globalement le but est le meme.
On peut modifier la paracompacité (qui est le fait que tout recouvrement ouvert ademt une rafinement ouvert localement fini) par des choses plus restrictives du style la dénombrabilité à l'infini, mais le point c'est que la paracompacité permet l'existence de partitions de l'unité, et c'est absolument crucial pour plein de choses (on ne peut pas intégrer sans partitions de l'unité, de même vis a vis de l'autre fil, c'est l'hypothese de paracompacité, et donc de partition de l'unité qui permet de prouver qu'une variété diff admet toujours une métrique, c'est facile en fait, localement on a en une, on prend un recouvrement ouvert trivialisant, et on utilise une partition de l'unité pour construire une métrique globale, en utilisant le fait que les formes bilinéaires symétriques définies positives forment une ouvert convexe de Mn).
Mais dans tous les cas, l'hypothese de séparation (hausdorff, on dit aussi separated) est cruciale, et l'existence de partition de l'unité est cruciale aussi, apres l'hypothese minimale pour disposer de partitions de l'unité c'est la paracompacité, apres on peut la remplacer par des choses plus restrictifs, en pratique ca a pas vraiment d'incidence, vu qu'on se debrouille toujours pour avoir l'existence de partition de l'unité.
Moralement ce qu'il faut retenir, c'est que pour que la théorie marche il faut le carractère séparé, les partitions de l'unité, et bien sur les homeomorphismes locaux avec R^n.
Je te conseille de te plonger dans un bouquin d'introduction à la géométrie differentielle, du style Bott-Tu, ou Sharpe (je les ai en format numérique si tu veux), toutes ces petites sorites sont prouvées, tu y verras plus clair, surtout que si c'est la géométrie qui t'interesse, je ne te conseille pas de t'eterniser sur les subtilités topologiques entre regulier lindelof, kolmogorov etc... c'est pas ca le point de la théorie, prend une bonne définition( et en plus, la majorité des géométres ont la meme) et tiens t'y.
En fait la philosophie derrière tout ca, c'est "quelles propriétés se conservent par les operations topologiques naturelles"?
Si tu prend des bonnes variétés, tu ne veux pas pouvoir en sortir en faisant des produits, des sommes, des images reciproques etc... C'est pour ca que la condition de séparation est innocente (enfin a priori) tu vas pas fabriquer facilement des variétés non séparées à partir de variété séparés, donc on peut s'imposer ca.
Bien sur ca marche pas si bien que ca, les quotients de variétés ne sont pas en general séparés, et des que tu veux regarder des espaces du style Hom(X,Y) pour X et Y deux variétés, tu quitte le monde des variétés. Mais bon globalement c'est l'idée.
