Mécanique de Lagrange sur des variétés
Bonsoir,
J'ai appris qu'il était possible de formuler la mécanique lagrangienne à l'aide de variétés différentiables constituant l'espace de configuration. Cela paraît vraiment intéressant du point de vue conceptuel, mais y-a-t-il un intérêt du point de vue physique? Prenons l'exemple du pendule double, le fait de savoir que son espace de configuration est un tore nous apprend-il quelque chose physiquement?
Merci par avance pour vos réponses
Cordialement
Salut,Envoyé par neutrino éléctronique
Bonsoir,
J'ai appris qu'il était possible de formuler la mécanique lagrangienne à l'aide de variétés différentiables constituant l'espace de configuration. Cela paraît vraiment intéressant du point de vue conceptuel, mais y-a-t-il un intérêt du point de vue physique? Prenons l'exemple du pendule double, le fait de savoir que son espace de configuration est un tore nous apprend-il quelque chose physiquement?
Merci par avance pour vos réponses
Cordialement
Ce type d'information a son utilité lorsqu'on s'intéresse au chaos dans des systèmes hamiltoniens par exemple (mais c'est plutot de la mécanique hamiltonienne du coup).
Sinon la formulation mathématique de la mécanique lagrangienne en passant par des variétés peut évidemment servir en mécanique générale pour formuler correctement le problème.
D'accord, merci pour ta réponse
En fait j'aimerais parler de ça dans mon TIPE, mais ça doit avoir un aspect expérimental... Donc vois tu des exemples concrets de problèmes où cette approche mathématique fournit des résultats intéressants?
Un exemple que je vois est le théorème KAM (pour Kolmogorov-Arnold-Moser) pour la perturbation de systèmes stables vis à vis d'une perturbation les rendant chaotiques...je crois que les anneaux de saturne en sont une bonne application (c'est pas vraiment expérimental mais ça explique un fait expérimental).D'accord, merci pour ta réponse
En fait j'aimerais parler de ça dans mon TIPE, mais ça doit avoir un aspect expérimental... Donc vois tu des exemples concrets de problèmes où cette approche mathématique fournit des résultats intéressants?
Ça a l'air vraiment passionnant (et ça en jetterait comme fait expérimental) mais ça me semble assez inabordable... En effet, dans mon bouquin (Méthodes mathématiques de la méca classique, Arnold) ça arrive à la toute fin, après tout le formalisme symplectique hamiltonien qui me dépasse. J'essaye de me concentrer sur la première partie du livre, à savoir la méca lagrangienne sur des variétés, l'espace de configuration en tant que variété et le lagrangien comme une fonction sur son fibré tangent.
Alors avec ces "simples" outils, donc sans utiliser l'espace des phases mais seulement celui de configuration, y-a-t-il des faits expérimentaux (originaux?) à expliquer?
Je ne suis pas certain qu'il faille rentrer dans ce détail mathématique si c'est pour un TIPE de physique...et je ne comprends pas ce que tu appelles espace des configurations (c'estÇa a l'air vraiment passionnant (et ça en jetterait comme fait expérimental
Alors avec ces "simples" outils, donc sans utiliser l'espace des phases mais seulement celui de configuration, y-a-t-il des faits expérimentaux (originaux?) à expliquer?et
D'un autre coté, si tu tiens à ce formalisme technique d'une fonction de Lagrange sur une variété tu peux aussi traiter l'électromagnétisme de Maxwell en l'imaginant comme un problème de mécanique des milieux continus. Il me semble en effet qu'originellement Maxwell pensait que les champs potentiels étaient en quelque sorte mécaniques et se propageaient avec les mêmes principes qu'une onde mécanique...mais il n'y aura pas d'effets de la topologie...
Enfin, pour revenir au problème de KAM, je pense qu'il faut plutot essayer de comprendre ce que cela implique "physiquement" et essayer de le retranscrir sans dire de betise, ça serait déjà pas mal. Si tu regardes le Huang de mécanique statistique, il me semble que ce problème y est traité de façon assez simple.
Salut,
En fait j'aimerais faire ce TIPE à l'interface entre maths et physique, et montrer la puissance de cette formulation mathématique de la mécanique.Je ne suis pas certain qu'il faille rentrer dans ce détail mathématique si c'est pour un TIPE de physique...et je ne comprends pas ce que tu appelles espace des configurations (c'est
D'après ce que j'ai lu l'espace des configurations est l'ensemble des positions atteignables par un système, et l'espace des phases est l'ensemble des positions auxquelles on rajoute l'ensemble des vitesses atteignables.
Ça à l'air intéressant, peux tu m'en dire un peu plus?D'un autre coté, si tu tiens à ce formalisme technique d'une fonction de Lagrange sur une variété tu peux aussi traiter l'électromagnétisme de Maxwell en l'imaginant comme un problème de mécanique des milieux continus. Il me semble en effet qu'originellement Maxwell pensait que les champs potentiels étaient en quelque sorte mécaniques et se propageaient avec les mêmes principes qu'une onde mécanique...mais il n'y aura pas d'effets de la topologie...
Si on utilise l'espace des configurations il y aura bien une variété et donc de la topologie non?
Oui tu as raison c'est ce que je vais essayer de faire, merci pour la référenceEnfin, pour revenir au problème de KAM, je pense qu'il faut plutot essayer de comprendre ce que cela implique "physiquement" et essayer de le retranscrir sans dire de betise, ça serait déjà pas mal. Si tu regardes le Huang de mécanique statistique, il me semble que ce problème y est traité de façon assez simple
