Metrisabilité des variétés

[taladris]

Bonjour,

on peut munir une variété lisse (comme cela est souvent fait, je suppose qu'une variété est séparée et à base dénombrable) d'une distance telle que la topologie induite par cette distance coïncide avec la topologie de la variété. On peut faire cela de plusieurs manières:

-> en utilisant le théorème de Nagata-Smirnov (un espace topologique est métrisable si et seulement s'il est régulier et à base dénombrable localement finie).
-> en plongeant la variété dans un espace euclidien (théorème de Whitney) et en utilisant la restriction de la distance de l'espace euclidien.
-> Autres? (j'ai de vagues souvenirs d'une distance de Kobayashi)

Ma question: est-ce que ces distances sont "les mêmes"? Plus précisément, elles sont topologiquement équivalentes par construction mais sont-elles uniformément équivalentes? lipschitz-équivalentes?

Dans la pratique, quelle distance utilise-t-on? Pourquoi?

Merci d'avance.
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[Amanuensis]

Localement métrisable + paracompact

Localement métrisable est impliqué immédiatement par la définition de variété, non? Cela paraît naturel de prendre cela comme propriété !

L'hypothèse "base dénombrable" et séparée plus d'autres trucs implique paracompact, non ?

Un contre-exemple est la longue ligne, variété lisse, localement métrisable, localement compact, séparée, mais pas à base dénombrable ni paracompact.

[taladris]

Merci,

Localement métrisable + paracompact

Effectivement, un théorème de Smirnov affirme qu'un espace topologique et métrisable si et seulement s'il est localement métrisable et paracompact. Cela fait une manière de plus de construire une distance sur une variété.

Localement métrisable est impliqué immédiatement par la définition de variété, non? Cela paraît naturel de prendre cela comme propriété !

Désolé mais je ne comprend pas où tu veux en venir.

L'hypothèse "base dénombrable" et séparée plus d'autres trucs implique paracompact, non ?

Un contre-exemple est la longue ligne, variété lisse, localement métrisable, localement compact, séparée, mais pas à base dénombrable ni paracompact.

Idem. Je ne comprends pas en quoi cela répond à ma question.

Après réflexion, je pense qu'il n'y a de raison pour que les différentes constructions évoquées (Nagata-Smirnov ou Withney) donnent des distances équivalentes (mis à part topologiquement équivalentes): il y a des distances sur R^n qui induisent la topologie usuelle de R^n mais qui ne sont pas uniformément équivalente ou lipsitchz-equivalentes.

Reste ma seconde interrogation: existe-t-il une distance plus pratique que les autres? Si oui, pourquoi?