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Variétés



  1. #1
    Quinto

    Variétés


    ------

    Salut,
    on a un théorème qui nous dit que tout hyperplan d'un espace vectoriel est le noyau d'une forme linéaire unique non nulle (a coeff multiplicatif pres) et réciproquement.

    On a un théorème qui dit que si on a une fonction f (qui vérifie certaines propriétés que je n'ai plus en tête), alors f(x1,x2,...,xn)=0 est une sous variété différentielle.

    Par exemple
    fk(x,y)=x²+y²-k k>0
    est une sous variété de R².

    J'aimerai savoir s'il y'a une réciproque à ce théorème, c'est à dire, si pour toute sous variété d'une variété donnée, il existe une telle fonction?
    Par ce que ca me semblerait pas mal utile...

    Merci.
    A+

    -----

  2. #2
    martini_bird

    Re : Variétés

    Citation Envoyé par Quinto
    On a un théorème qui dit que si on a une fonction f (qui vérifie certaines propriétés que je n'ai plus en tête), alors f(x1,x2,...,xn)=0 est une sous variété différentielle.
    Salut,
    la condition, c'est que la matrice des soit surjective (avec f = (f1, ..., fk).

    Citation Envoyé par Quinto
    J'aimerai savoir s'il y'a une réciproque à ce théorème, c'est à dire, si pour toute sous variété d'une variété donnée, il existe une telle fonction?
    Par ce que ca me semblerait pas mal utile...
    Il y a une réciproque locale mais pas globale dans le cas général (d'ailleurs une variété n'est définie que localement). Le cas des hyperplans est particulier puisqu'il s'agit de sous-espaces vectoriels.

    A+

  3. #3
    BS

    Re : Variétés

    Citation Envoyé par martini_bird
    Il y a une réciproque locale mais pas globale dans le cas général (d'ailleurs une variété n'est définie que localement). Le cas des hyperplans est particulier puisqu'il s'agit de sous-espaces vectoriels.

    A+
    Oui on est confronté à un problème de recollement, il me semble que dans certains cas particuliers on peut quand même retrouver une équation globale, par exemple pour une hypersurface compacte connexe de IR^n.

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