Problème de statisque...

[invitef657fe61]

J'ai un petit problème sur un ennoncé qui fait intervenir les statistitiques...

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Le billet du jeu "qui veut gagner un million", vendu 10 euros , comporte 36 cases à gratter disposé en carré de 6x6, 6 contiennent le nombre "10", 9 le nombre "1" et les 21 autres le nombre "0".
Le joueur peut gratter les cases de son choix, et autant de cases qu'il veut.Lorsqu'il décide de s'arrêter, il multiplie entre eux les nombres découverts (y compris malheureusement les éventuels "0") et gagne, en euros, le résultat obtenu.On suppose que tous les joueurs adoptent la stratégie optimale.

Statisquement, quelle proportion des sommes jouées sera-t-elle reversé aux joueurs? La réponse sera donnée en %, éventuellement arrondie au dixième.


Je ne demande pas la solution, loin de là,mais des choses qui pourrait me guidé pour obtenir la solution.

Merci d'avance,
Gunthar
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[shokin]

Statistique, pas statisque.

Il y a une proba de 21/36 qu'il tire un 0 tout de suite. Et donc il s'arrêtera tout de suite, et il aura gagné 0.

Il y a une proba de 6/36 qu'il tire un 10 tout de suite, mais va-t-il alors continuer ? et jusqu'où ? à mon avis (mais peut-être me trompe-je), il va s'arrêter voyant qu'il a 21/35 d'annuler son gain, 9/35 de garder le même gain, et 5/35 de multiplier son gain par 10.

Et si tu faisais un diagramme en arbre, qui commence par une subdivision en trois branches. La première, je tire 10, la suivante, je tire 1, la dernière, je tire 0. Et continuais de faire pousser cet arbre autant que tu peux.

Ou dis-toi que s'il a la miraculeuse chance de tirer les 6 dix (avec des 1 ou non), il ne prendra pas le risque supplémentaire.

Ou dis-toi, qu'il ne tirera pas deux 0.

Mais mon doute demeure sur : par exemple, s'il commence de tirer un 10, va-t-il continuer ?

Shokin

[invitef657fe61]

Je ne vois pas comment je pourrais aboutir a une solution au pourcentage prêt avec un diagramme en baton ...

Apparament ya quand meme des calculs à faire et cest sa mon problème :/

Comment obtenir un pourcentage?

Car le problème bah c'est que certe il a plus de chance d etombé sur 0 que sur 10 ou 1 mais comme cest un jeu de hasard sa peu être une personne avec une chance extreme et qui va tiré 3 coups a 10 euros :/ Enfin bref j'ai du mal a comprendre comment on peu réalisé un pourcentage avec les données .?

[pallas]

Je pense que tu dois definir une variable nombre de tirage et moyenne des gains pour chaque tirage :
Ainsi pour un tirage les gains possibles sont :-10 proba de 21/36 ; de -9 avec une proba de 9/36 etc et tu fais le gain moyen pour un tirage
Tu recommences pour deux tirages ( avec l'arbre)etc ..
C'est une piste !!
A +

[A voir en vidéo sur Futura]

[zaron]

Je vois que tu cale sur un Pb de jeux mathematiques du dernier tangeante
Je propose une solution qui me parait logique
Ce % depend evidemment du nombre de cases que tu grattes sur une carte à 10 €

j'ai donc pris le cas 1 case (simple) 6/36 de ganer 10 € + 9/36 de gagner 1 € (de memoire j'ai trouver 20 % des gains environ)

avec 2 cases
il faut etudier 4 cas
10 ET 1 (6/36)*(9/35)
1 ET 10 (9/36)*(6/35)
10 ET 10 (6*5)/(35*36)
1 ET 1 (9*8)/(36*35)

j'ai repeter ce travail pour 3, 4,5, et 6 cases

j'ai constaté que l'optimum de gain se situe à 5 cases (environ 75 %)

car l'esperance de gain diminue avec 6 cases

Je suppose que 7 cases doit etre encore inferieure car plus on gratte de cases plus la probabilité de tirer un 0 augmente

Je srais ravi que quelqun infirme ou confirme ma solution

Amicalement

[shokin]

On a d'abord calculer la proba de tirer un 10, de tirer un 1, et de tirer un 0, respectivement 6/36, 9/36 et 21/36. Mon espérance mathématique de gain après avoir gratté une seule case est de 6/36*10+9/36*1+21/36*0=69/36=23/12.

A mon avis, ce problème est loin d'être aussi simple (sans vouloir nous décourager), du fait que nous ne gratons qu'une case à la fois (pour choisir la solution optimale).

Dès que je gratte un 0, j'arrête le jeu car mon gain s'annule.

Si j'ai gratté un 10 en premier (donc 6/36 * 10), je calcule la proba alors de gratter un 10 pour obtenir un produit de 100, elle est de 5/35 (donc 5/35*100). Je calcule ensuite la proba de gratter un 1 pour garder le produit de 10, elle est de 9/35 (donc 9/35*10), enfin la proba de gratter un 0 pour annuler mon gain, elle est de 21/35 (donc 21/35*0). Donc si j'ai gratté un 10 en premier, après avoir gratté une deuxième case, mon espérance mathématique de gain est de 5/35*100+9/35*10+21/35*0=509/35.

509/35>23/12, donc : si j'ai gratté un 10 au premier tour, je vais continuer de gratter, car mon espérance mathématique de gain augmente.

Ensuite, je regarde les cas si, après avoir gratté un 10 :
- je gratte un autre 10
- je gratte un 1
- je gratte un 0.
- ...
et si j'ai gratté un 1 comme première case...

j'arrête de gratter si je tombe sur un 0
j'arrête de gratter si mon espérance mathématique de gain diminue dans le cas où je tire une nouvelle case.

Un peu long, mais pas si long...

A moins d'avoir d'autres avis.

Shokin

[invitef657fe61]

Ce qui m'embete quand meme c'est que pour une premiere case ta ta 6 chances sur 36 de tombé sur 10 , 9 chances sur 36 de tombé sur 1 etc... alors comment trouver la proportion des sommes jouées qui sera reversé aux joueurs? On peut deja dire que le joueur a 15 chances sur 36 de continués après avoir grattez sa première case
donc 41, 6 % de touché 10 euros ou 1 euro si il s'arrète après avoir gratter une case

Le problème cest que sa chance va diminué au fur et a mesure. donc pour trouver la solution optimale... bah sa sera de s'arrêter au max à 4 , 5 cases .


Heu dites moi .... Je me trompe si je pense comme sa ou pas? O_o


(Merci beaucoup pour toutes vos réponses je commence à mieu comprendre comment je pourrais traiter le problème)

[invite441d9b1d]

Veuillez lire ce que je propose dans la piece jointe

je manque un peu de temps pour l'approfondir. Mais des que je me libere un peu je pourrai m'y mettre.

Pour la loi de N on peut s'en passer en utilisant une decomposition de P qui fait intervenir Nd qui est le nombre de gagnant possible qui et en fqit le cardinal de l'ensemble D et est connu contrairement a N

Faites moi parvenir vos impressions

Kenneth

[invite980a875f]

Salut,
juste, je ne comprends pas comment tu es arrivé à trouvé que le Si maximal était 69?!!
C'est plutôt 10^6=1 000 000, comme l'indique le titre du jeu!

[yat]

Mais comment on peut faire des statistiques en se basant uniquement sur les rêgles d'un jeu dont la stratégie est choisie par le joueur ? Il faudrait d'abord avoir des statistiques sur le comportement des joueurs...

Par exemple si tous les joueurs visent le million et continuent de gratter tant qu'il reste des 10 et qu'ils n'ont pas eu de 0, la redistribution des gains n'aura rien à voir avec ce qui se passe si tous les joueurs qui grattent deux 10 préfèrent s'arréter tout de suite pour assurer leur gain...

[zaron]

il s'agit de decouvrir la strategie qui permette d'optimiser ses gains
Ca revient à trouver le nombre de case à gratter pour avoir l'esperance de gain la + grande

demain je me coltine la solution de kenneth

Zaron

[shokin]

En fait à chaque fois, le joueur compare l'espérance mathématique de gain qu'il a eue jusqu'à son dernier grattage à celle qu'il aurait s'il gratte une case de plus. Si celle-ci est plus grande que celle-là, il continue, et a contrario...

Shokin

[invitef657fe61]

Je pense que le problème pour trouver une solution de grattage optimal est pas vraiment facile à trouvé puisque cest le joueur qui va sentir si il faut s'arrêté ou pas :/

[invite51f4efbf]

Je pense que le problème pour trouver une solution de grattage optimal est pas vraiment facile à trouvé puisque cest le joueur qui va sentir si il faut s'arrêté ou pas :/

Non, il est précisé qu'il choisit la stratégie optimale à chaque fois : en d'autres termes il fait un calcul d'espérance à chaque étape.

[shokin]

En fait, à calculer et surtout à estimer : le fait que le gain soit le produit des numéros grattés, et du fait qu'il y ait des 10, des 1 (et des 0) et aucun chiffre au milieu. L'espérance mathématique augmente tant qu'on a pas gratté tous les 10 et tant qu'on n'a pas gratté un 0. Dans ce cas, le joueur continue de gratter.

En fait, le joueur aura au final gratté les six 10 ou (exclusif) au moins un 0 et zéro à neuf 1.

S'il a gratté les six 10 (son gain est alors 1'000'000) :

Il n'y a qu'une possibilité gratter les six 10. En revanche, il peut avoir gratté en cours de parcours zéro à neuf 1.

S'il en a gratté zéro, il y a (C de 0 parmi 9 * 6!, 6! étant le nombre d'ordres possibles parmi les 6 cases grattées) une seule combinaison.
S'il en a gratté un, il y a C de 1 parmi 9 * 7! combinaisons.
S'il en a gratté deux, il y a C de 2 parmi 9 * 8! combinaisons.
...
Il y a donc au total (je vous laisse le calcul ou corriger le mien) 1'307'674'368'000 (ça paraît beaucoup) combinaisons de tirer de zéro à neuf 1 (en tenant compte de l'ordre). [qu'il ait tiré les six 10 ou un 0]



S'il a gratté un 0, celui-ci se trouve le dernier gratté, en dernière place.

S'il a gratté 5, je procède de même pour calculer le nombre de combinaisons... je trouve @1 combinaisons.

S'il a gratté 4, ..., je trouve @2 combinaisons.
...
S'il a gratté 0, ... je trouve @6 combinaisons.

Donc j'ai 1'307'674'368'000 possibilités de gagner 1'000'000.

Donc j'ai @1+@2+...+@6 possibilités de gagner 0.

Et de là, je calcule l'espérance mathématique de gain.

NB : je ne me base que sur l'espérance mathématique de gain.

Cette méthode n'eût pas marché s'il y avait par exemple des 2 à la place des 10.

Mouais, faut-il vraiment se baser là-dessus ?

Shokin

[invite441d9b1d]

Merci Shokin pour la rectification. c'est 60 plutot que 69.
Neanmoins l'hypothese de "choix de strategie optimale" est tres embettant, tant que nous ne convenons pas sur une definition commune du terme.
On pourrait dire que un joueur rationnel et sucieux de gagner ne grattera pas plus de 36-21cases (soit plus de 15 cases) de peur de tomber sur une case 0

[invite441d9b1d]

Un second postulat est de supposer que le joueur cherchera au moins a trouver un gain superieur a 10 afin de recuperer son "investissement" (avec tout les risques que cela entraine.
Ce postulat mettra une censure sur l'ensemble des gains possibles du jeu et complique un peu le probleme

[invitef657fe61]

Sérieux je n'aurais jamais pensé qu'un problème avec une question (apparament) facile soit si difficile... O_O

Moi je dis vive tangente et merci encore pour ceux qui essai de fournir des réponses (ou qui en donne tout simplement ^^ )

Sur cela , je vous salu et je me retire dans mon humble lit me reposé quelques heures

[invite441d9b1d]

Decidement je suis pas dans le coup ce soir.
1 000 000 plutot que 69

Portez vous bien.

[yat]

En fait, à calculer et surtout à estimer : le fait que le gain soit le produit des numéros grattés, et du fait qu'il y ait des 10, des 1 (et des 0) et aucun chiffre au milieu. L'espérance mathématique augmente tant qu'on a pas gratté tous les 10 et tant qu'on n'a pas gratté un 0. Dans ce cas, le joueur continue de gratter.

Ah non... par exemple, s'il a gratté les 9 "1" et 5 des 6 "10", il a seulement une chance sur 22 de s'en tirer avec le million, et les 21 autres chances de perdre tout. Ca lui fait une espérance mathématique de 45454,5 alors qu'en arrétant là il garde 100000. Bah oui, je chipote, mais bon... Même dans le cas idéal : Je viens de gratter 5 "10" d'affilée. En continuant, j'ai 21 chances sur 31 de tout perdre, et seulement 1 chance de décrocher le million. Ca me fait une espérance de 75115,2. Là encore, il vaut mieux s'arréter.

Et puis de toutes façons, est-ce certain qu'une stratégie optimale consiste forcément à optimiser l'espérance de gain ? Il faut être joueur...
..mais moi, par exemple, si j'ai eu la chance phénoménale d'avoir coché 5 cases "10", et en imaginant que j'aie une espérance de 200000 en continuant, parce que j'ai une chance sur 5 de toucher le million (c'est une hypothèse), je vais peut-être préférer garder les 100000 parce qu'ils vont déjà bien me dépanner, plutôt que de risquer cette somme à quatre contre un.

[shokin]

Merci Shokin pour la rectification. c'est 60 plutot que 69.
Neanmoins l'hypothese de "choix de strategie optimale" est tres embettant, tant que nous ne convenons pas sur une definition commune du terme.
On pourrait dire que un joueur rationnel et sucieux de gagner ne grattera pas plus de 36-21cases (soit plus de 15 cases) de peur de tomber sur une case 0

C'est vrai qu'on peut aussi raisonner ainsi :

Il ne peut gratter 16 numéros ou plus, car s'il en a gratté 15, c'est donc que le 15ème était un 0 (le seul 0) ou le dernier 10.

1) S'il a gratté 15 numéros, il y a deux possibilités :

A) Il a gratté les six 10, et les neuf 1.

B) Il a gratté un 0 (en dernier), cinq 10 et les neuf 1.

2) S'il a gratté 14 numéros, il y a trois possibilités :

A) Il a gratté les six 10, et huit 1.

B) Il a gratté un 0, cinq 10 et huit 1.

C) Il a gratté un 0, quatre 10 et neuf 1.

...

10) S'il a gratté 6 numéros, il y a sept possibilités :

A) Il a gratté les six 10 uniquement, le million !

B) Il a gratté cinq 10 et un 0.

C) Il a gratté quatre 10, un 1, et un 0.

...

G) Il a gratté zéro 10, cinq 1, et un 0.

11) S'il a gratté 5 numéros, il y a 1 possibilité :

A) Il a gratté quatre 1 et un 0.

...

15) S'il a tiré 1 numéro, il y a une possibilité :

A) Il a tiré un 0.

Pour chaque lettre, je calcule la probabilité.

Et comme je sais qu'il n'y a que pour le cas 10A) qu'il gagne le million, tous les autres cas, il gagne 0. [Si l'on tient compte du prix, il gagne 999'990 ou il perd 10.], je peux alors calculer l'espérance mathématique.

Le plus long, c'est le calcul... et la machine à 10 chiffres ne peut tout afficher (heureusement ya l'ordi).

Shokin

[yat]

Et comme je sais qu'il n'y a que pour le cas 10A) qu'il gagne le million, tous les autres cas, il gagne 0.

Y en a qui s'endorment, là... il est aussi millionnaire pour les cas 1A, 2A, et je suppose tous les A jusqu'au 10A...

[shokin]

Ah ! oui, merci pour le correctif, Yat.

Ouais je vais aller au lit maintenant... => I==oI

Shokin

[invitef657fe61]

*toussote* Pouraije savoir s'il te plait comment sa se calcul l'espérance mathématique?

[zaron]

Je vous propose le calcul que j'ai fait pour calculer l'esperance de gain en grattant 5 cases qui pour moi est la strategie optimale

=6*5*4*3*2*100000(5 cases *10)
+5*6*5*4*3*9*10000(4 cases *10 et 1 case *1)
+10*6*5*4*9*8*1000 (3 cases *10 + 2 cases *1)
+10*6*5*9*8*7*100 (2 cases *10 + 3 cases *1)
+5*6*9*8*7*6*10
+9*8*7*6*5

et on divise tout ca par

36*35*34*33*32

et on obtient

74.4 %

ce qui veut dire à mon avis que si un joeur achetait un nombre important de billet à 10 €, il devrait sur chaque billet gratter 5 cases
et recupererait un peu mois des 3/4 de sa mise

Zaron

[yat]

Je vous propose le calcul que j'ai fait pour calculer l'esperance de gain en grattant 5 cases qui pour moi est la strategie optimale

A mon avis, le joueur qui a tiré 5 fois "1" optimisera son espérance de gain en rejouant : 6 chances sur 31 de décupler sa mise.

*toussote* Pouraije savoir s'il te plait comment sa se calcul l'espérance mathématique?

Tu multiplies les différents gains par la probabilité de les obtenir. Exemple, je lance un dé, si je fais 6 je gagne 4 euros, si je fais 5 j'en gagne 2. Mon espérance de gain est 1/6*4+1/6*2=1. Si je paye un euro pour jouer, c'est donc équilibré.

[zaron]

Ta remarque est pertinente dans le cas que tu cites

le joueur a aussi 21/31 de tout perdre (68 %)

Il me parait d'autre part difficile pour un joueur de remettre en question sa straegie à chaque grattage

zaron

[yat]

le joueur a aussi 21/31 de tout perdre (68 %)

Certes, mais ici on parle en terme d'espérance mathématique. Je suis bien d'accord avec toi (d'ailleurs je l'ai souligné plus haut) qu'optimiser l'espérance mathématique constitue un risque de perdre le gain déjà acquis, et n'est pas nécessairement la meilleure stratégie de tous points de vue.

Il me parait d'autre part difficile pour un joueur de remettre en question sa straegie à chaque grattage

Pourtant c'est à mon avis nécessairement ce qui va se passer. A chaque nouvelle case grattée, il faut se poser la question de continuer ou pas. Il est assez immédiat de calculer la probabilité de décupler, la probabilité de rester constant, et la probabilité de tout perdre. Une bonne stratégie se doit donc de tenir compte de toutes les informations dont on dispose.

[shokin]

Mouais, en fin de compte, je préfère ne pas commencer ce jeu.

Je préfère aller au resto, prendre une bonne tranche d'agneau (ou de mouton) bien trompée dans une marinade, le tout accompagné de tomates farcies et de pinot noir. Au moins j'en aurais bien pris le temps de profiter.

Parce qu'avec un million, je n'en suis vraiment pas sûr d'en profiter pleinement.

Et si on se basait sur autre chose que l'espérance mathématique ?

Shokin

[invitef657fe61]

merci beaucoup Yat de ta réponse ... et merci encore et encore à tous ceux qui prennent le temps de répondre au topic