Matrice

[invite8be57c24]

Bonjour, je suis en terminale S et j'ai regardé un peu le programme du post-bac puis je suis tombé sur les matrices. Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer assez simplement ce que c'st ?
Merci

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[erik]

Ben, disons que c'est un tableau de nombre, on défini l'addition entre deux matrices de manière "assez naturelle", la multiplication est plus étonnante au premier abord.
Et hop on se retrouve avec un trés jolie outil mathematique, qui va bien te simplifier la vie, quand par exemple tu doit travailler avec des systemes de n équations à m inconnues.

Erik

[erik]

Je dirais même que c'est un outil determinant dans l'etude des systemes d'équations linéaires

[invite8be57c24]

merci c sympa @+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea77054e9]

Quelques précisions sur les matrices.

On appelle matrice un tableau de n lignes et m colonnes d'élèments de lK (lK pouvant être par exemple le corps des réels ou le corps des complexes).
Par exemple,
| 2 1 0 5 |
| 1 8 7 0 |
| 0 0 6 9 |
est une matrice (3,4) (3 lignes et 4 colonnes!) à coefficients réels.

Pour manipuler les matrices, on indexe chaque élèment à l'aide de deux nombres représentants les "coordonnées" de chaque élèment situé dans la matrice.
Par exemple, dans la matrice qu'on a définit plus haut, l'élèment "2" est situé à la place (1,1) et l'élèment "9" à la place (3,4), l'élèment "8" à la place (2,2), etc...

On définit comme pour les réels une addition et une multiplication pour les matrices.
L'addtion est simple puisqu'elle consiste à additionner entre eux les élèments de même coordonnées dans chaque matrice. Pour additionner deux matrices il faut donc qu'elles soient de même taille.
Par exemple:
| 2 0 | + | 0 6 | = | 2+0 0+6 | = | 2 6 |
| 1 5 | | 5 7 | | 1+5 5+7 | | 6 12 |

On définit aussi la multiplication de 2 matrices, mais c'est assez techniques, tu auras l'occasion de le voir l'an prochain.

A quoi servent-elles?
A beaucoup de choses, notamment à représer un certain type de fonction (ou application) qu'on qualifie de linéaire.
Il y a ainsi une totale équivalence entre une application linéaire et la matrice qui la représente.

Si on note f, g et h 3 applications linéaires, et qu'on pose f(x)+g(x)=h(x) pour tout x dans le corps considéré (par exemple lR), et qu'on associe à f, g et h respectivement les 3 matrices F, G et H, on aura bien sûr F+G=H au sens de l'addition matricielle.
Par contre, F*G au sens de la multiplication matricielle ne correspond par à la multiplication f*g, il correspond en fait à la composition des fonctions f et g.
Si on note fog(x)=f(g(x)) (lire f rond g de x dans le membre de gauche), alors il y a une totale équivalence entre fog et F*G au sens de la multiplication matricielle.

Qu'appelle-t-on application linéaire?
Une application f est linéaire si pour tout x,y elle vérifie f(x+y)=f(x)+f(y) et si pour tout scalaire L on a f(L*x)=L*f(x) .

Il faut bien distinguer l'application linéaire f et le nombre f(x), qui sont respectivement représentés par les matrices F et F*X si X représente le vecteur associé à x (et on voit bien qu'on compose f et x quand on effectue le produit F*X!!).


L'utilisation des matrices offrent de nombreux avantages et simplifie énormement de calcul.
Son utilisation est d'ailleurs largement répandue dans beaucoup de domaines scientifiques.
Un exemple qui me vient directement à l'esprit est son utilisation en inforgraphie. Une matrice pourra par exemple représer une rotation d'angle x d'une caméra virtuelle.
Si je me souviens bien, la matrice d'une rotation d'angle x doit être du genre :
| cos(x) -sin(x) |
| sin(x) cos(x) |
Dit comme ça, c'est pas évident, mais si on sait qu'il y a correpsondance entre les matrices du type:
| X -Y |
| Y X |
et le nombre complexe X+i*Y, on se rend compte que la matrice précèdente est donc équivalente à cos(x)+i*sin(x)=exp(i*x), qui représente bien une rotation d'angle x). J'espère que tu as déjà vu les nombres complexes, sinon tu les verras en cours d'année.

Voilà, j'ai essayé de te donner quelques élèments de réponse, même ce n'est que très peu exaustif.

Pour plus de détail ou des précisions, n'hésite pas à demander .

[invite8be57c24]

Merci beaucoup ça m'a pas mal éclairé !!! J'avais déjà regardé le cours de l'an prochain mais sa m'a paru assez compliqué mais là sa va mieu merci encore.

[invitea8961440]

Je serais bref,sois patient !

[inviteab2b41c6]

Les matrices forment une belle structure d'anneau non commutatif.
C'est pas mal au niveau théorique.
D'ailleurs, on peut montrer des résultats d'algèbre assez impressionant, notamment que tout groupe nilpotent est isomorphe à un sous groupe de matrices (triangulaires avec des 1 sur la diagonale,notamment...)

[invite4793db90]

Salut,

pour y aller de ma contribution, les matrices sont une manière de représenter, de manipuler et de résoudre un système d'équations. Sur un exemple:
on peut écrire le système
7x+4y+z=0
3y+2z=0
8x+y+2z=0

ainsi:
|7 4 1| |x|
|0 3 2| |y|=0
|8 1 2| |z|

C'est simple: on écrit les coefficients à gauche et les inconnues à droite!

Ceci dit, comme l'a évoqué Quinto , les matrices (qui sont en fait des homomorphismes d'espaces vectoriels) fournissent de nombreux exemples de structures algébriques utiles dans maintes branches des mathématiques.

La théorie de la représentation permet notamment d'étudier la structure des groupes finis à l'aide des matrices.

C'est pourquoi je m'exclame: les matrices ne servent pas seulement à résoudre des sytèmes!

[invite8be57c24]

Merci à tout le monde d'avoir répondu.
C'est sympa.
Merci @++