matrice

[dim756]

bonjour,
est-ce que le rang d'une matrice est le nombre de lignes non nuls dans la matrice echelonnée ?
que est le rang de cette matrice ?
quelle est sa matrice échelonnée ?



merci.
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[invite34596000666]

Le rang est le nombre d'éléments non nuls sur la diagonale*.
J'ai trouvé ça comme forme échelonnée… (pas sûr de moi : ça fait longtemps )

Donc rang égal à 3…

Il y a peut-être plusieurs formes d'échelonnage. J'échelonne en faisant apparaître des zéros dans le triangle inférieur…

[dim756]

est-ce que c'est forcément sur la diagonale ?

[Flyingsquirrel]

La prochaine fois je me tairai

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite34596000666]

est-ce que c'est forcément sur la diagonale ?

En échelonnant comme je le fais (des zéros dans le triangle inférieur), oui.
On peut aussi échelonner (réduire) en faisant apparaître le plus de zéros possible…

[dim756]

est-ce que c'est sûr que c'est de rang 3 ?
si on soustrait la derniere ligne à la deuxième, on aura :



donc le rang de la matrice est 2 ?

[invite34596000666]

Faut s'arrêter quand on a rempli le triangle inférieur de zéros. Et puis de toutes façons, on a pas le droit de se servir de la deuxième ligne…
Voilà comment j'échelonne :
– On commence par mettre des zéros dans la première colonne du triangle inférieur. Pour cela, on fait des opérations entre la 1ère ligne et les lignes 2 jusqu'à N (dimension de la matrice)
– Ensuite, on met des zéros dans la deuxième colonne du triangle inférieur. Pour cela, on doit maintenant effectuer des opérations entre la 2ème ligne et les lignes 3 jusqu'à N (bah oui, on veut pas détruire ce qu'on a fait avant )
– On continue jusqu'à mettre des zéros dans la colonne N-1 du triangle inférieur en faisant des opérations avec la ligne N-1 et la ligne N.

[Ledescat]

bonjour,
est-ce que le rang d'une matrice est le nombre de lignes non nuls dans la matrice echelonnée ?

Le rang c'est ni plus ni moins le nombre de vecteurs (colonnes ou ligne) indépendants dans ta matrice.

[dim756]

pour calculer la matrice échelonnée, est-ce qu'on peut utiliser le pivot de Gauss ?
que veut dire nombre de vecteurs independants dans la matrice ?
merci.

[Ledescat]

que veut dire nombre de vecteurs independants dans la matrice ?
merci.

Le nombre de vecteurs qui ne sont pas combinaison linéaire des autres.
Déjà on a deux vecteurs colonnes égaux (1,1,1,0) et (1,1,1,0).

[dim756]

et on en déduit quoi ?
où sont les vecteurs qui ne sont pas combinaison lineaire des autres dans cette matrice ?
merci.

[Ledescat]

On peut en enlever un des deux vecteurs égaux et il reste à étudier la liberté de la famille:

u1=(1,1,1,0)
u2=(1,0,1,0)
u3=(1,0,0,1)

Pour savoir s'il existe une combinaison linéaire reliant ces 3 vecteurs, on peut par exemple s'intéresser au petit déterminant des 3 premières coordonnées:

|1,1,1|
|1,0,1|
|1,0,0|
=1 si je ne m'abuse

Donc différent de 0, et il n'y a pas de combinaison linéaire reliant ces vecteurs: ils sont libres (et sont 3, donc rang=3).

NB: ce sont les vecteurs colonnes que j'ai écrits.