Problème de statisque...

[invite441d9b1d]

J'espere que ca ira
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[invite441d9b1d]

il y a le quotien 1/10 qu'il faut prendre en compte et que j'ai omis

[shokin]

On dit que chaque joueur opte pour la stratégie optimale.

Mais quelle est donc cette stratégie optimale ? toujours se baser sur l'espérance mathématique ?

Désolé de revenir sur ce problème, mais on me l'a reposé et je ne l'ai pas encore vraiment résolu. Heureusement, je me souviens de ce topic !

Shokin

[invite14ea0d5b]

J'ai pas encore la solution, mais un truc pour simplifier le problème : oublier les cases 1. En effet, gratter une case 1 ne change pas le gain; elle ne fait que reporter la décision de gratter une case supplémentaire.

On a donc l'équivalence avec un billet avec 6 cases 10 et 21 cases 0 (Les cases 1 sont prises en compte si on considère qu'un gain de 1 n'est pas optimal et que le joueur va de toutes façons continuer à gratter)

10 Frs : 6/27
100 : 6*5/26*27
1000 : 6*5*4 / 25*26*27

...

10^n = (27-n)!*6! / (27!*(6-n)!) avec 0 < n < 7

Maintenant il s'agit de trouver n pour maximiser l'esp. de gain :

10^n * (27-n)!*6! / (27!*(6-n)!)

en fait à chaque fois que n augmente de 1, on multiplie par 10*(6-n)/(27-n) . Il s'agit donc de trouver quand cette expression est plus petite que 1. ça l'est quand n >= 4. Donc il faut s'arreter à 4 grattages. (les successfuls bien sûr) Il faut essayer de gagner 10'000 Frs, on a une esp. de gain de 8,55 Frs.

Pour ceux qui sont pas convaincus qu'on peut oublier les cases 1, on peut encore calculer l'esp. de gain du dernier gain possible : 1 Fr. c'est 9/36*1 = 0,25 < 8,55...

donc 85% sont reversés aux joueurs (8,55 est un arrondi de 8,54...)

[inviteb751ea08]

En effet, déterminer la stratégie optimale du joueur revient à déterminer un montant multiple de 10 parmi { 0 ; 10 ; 100 ; 1000 ; 10000 ; 100000 ; 1000000 }

On va considérer la décision de gratter ou non à rebours.

Notons u(x) l'utilité du joueur associée au montant de x euros ; on utilise comme critère de décision la théorie de l'utilité espérée (c'est à dire que le joueur maximise son espérance d'utilité).

Le joueur continue à gratter alors qu'il a déjà gratté cinq '10' si et seulement si u(10^5-10)<1/22*u(10^6-10)+21/22*u(-10).
Pour des raisons de rigueur, on considère que l'individu a perdu 10 euros de sa richesse initiale en achetant le billet et que cela modifie ses préférences.

Si l'individu est indifférent au risque (on note u(x)=x), il ne grattera pas car 99990>45445 . Si l'individu est neutre au risque, le problème revient à maximiser son espérance de gain.
Si l'individu n'a pas envie de prendre de risque lorsqu'il possède 99 990 euros, il ne grattera bien sûr pas non plus.
Si il aime le risque et a très envie du million, il grattera peut-être. Cela dit, je suppose que 99% des joueurs ne gratteraient pas.

Considérons que l'individu ne gratte pas après le grattage d'un 5° '10'. Alors :
l'individu gratte quand il possède déjà 10^4-10 ssi :
u(10^4-10)<2/23*u(10^5-10)+21/23*u(-10)
S'il est neutre au risque, il gratte ssi :
9990<8686

Considérons que l'individu ne gratte toujours pas après le grattage d'un 4° '10'. Alors :
l'individu gratte quand il possède déjà 10^3-10 ssi :
u(10^3-10)<3/24*u(10^4-10)+21/24*u(-10)
S'il est neutre au risque, il gratte ssi :
990<1240
On va considérer que l'individu, dans ce cas, gratte.

Considérons la décision de l'individu lorsqu'il a déjà deux '10'. Il sait que s'il en gratte un 3°, il va encore gratter, une dernière fois (rappelons qu'on a mis de côté les '1').
u(10^2-10)<4/25*3/24*u(10^4-10)+(1-4/25*3/24)*u(-10)
Soit il obtient deux nouveaux 10, soit ce n'est pas le cas et il aura perdu sa mise de 10.
S'il est neutre au risque, il gratte ssi :
90<190
On suppose que l'individu va également gratter.

Alors :
l'individu gratte quand il possède déjà 10^1-10 ssi :
u(10^1-10)<5/26*4/25*3/24*u(10^4-10)+(1-5/26*4/25*3/24)*u(-10)
S'il est neutre au risque, il gratte ssi :
0<28,4
On suppose que l'individu gratte encore.

Alors :
l'individu achète un ticket ssi :
0<6/27*5/26*4/25*3/24*u(10^4-10)+(1-6/27*5/26*4/25*3/24)*u(-10)
S'il est neutre au risque, il gratte ssi :
0<-1,46
L'individu ne va donc pas acheter de ticket s'il est neutre au risque, car dans ce cas, il perd 1,46 euros par achat.

Conclusion : pour le joueur qui possède un ticket et a des préférences que nous qualifierons de "partagées par la plupart des gens", la stratégie optimale est d'aller jusqu'à 10 000 euros. Si les joueurs adoptent tous cette stratégie, la société vendant le jeu redistribue 85,6% des recettes.
Comme les joueurs qui achètent le billet ont envie de prendre des risques, il est probable qu'ils aillent jusque 100.000 euros, et dans ce cas le gain pour la société du jeu est plus fort (si on considère qu'elle est neutre au risque) :
10-6/27*5/26*4/25*3/24*2/23*10^5=2,57 euros par ticket.

Ce jeu existe-t-il réellement ?

[shokin]

Je crois que ce jeu existe. Si quelqu'un peut confirmer.

Je vous met ma nouvelle réponse demain, expliquée en détail. (je me suis aidé d'Excel pour gagner du temps)

Shokin

[invite1c628154]

Salut à tous,

A moi de mettre mon grain de sel là-d'dans !

Il semblerait que dans ce genre de problème, pour adopter THE BEST stratégie, il faille maximiser l'espérance de gain.
C'est un peu le cas de certains Keno pour lesquels, avant de jouer, il faut déterminer quel est le bon nombre de cases à cocher...

Donc pour moi, dans ce problème, il faut calculer l'espérance pour une case grattée, pour 2, pour 3 etc...

On se rend compte que l'espérance est maximale pour 5 cases grattées.

MAIS :
1. C'est un attrape-couillon ce jeu parce que l'espérance n'est que de 7 euros et quelques, donc on a de fortes chances d'être perdant (ceci dit je connais pas de jeux de loterie où les organisteurs sont perdants).
2. Il n'y a aucun espoir d'atteindre le million...

Joyeuses fêtes ! Hips !!!

[shokin]

Quelqu'un saurait-il comment afficher directement un fichier Excel (ou autre) dans un message ?

J'ose pas imaginer le temps sans machine à calculer que j'aurais fait.

Shokin

[invite1c628154]

Et c'est Korgox qui avait raison !!!

(va falloir revoir mon raisonnement...)

[shokin]

Pour moi, le jeu ne doit pas être pris de manière complètement globale, mais selon ce que j'ai gratté (progressivement) à chaque coup.

Je compare à chaque fois mon gain actuel avec l'espérance mathématique du prochain grattage (en tenant compte des probabilités de tirer un 0, un 1 ou un 10 au prochain grattage).

Si l'espérance mathématique est strictement supérieure à mon gain actuel, je gratte. Si elle est strictement inférieure à mon gain actuel, je stoppe. Si elle est égale à mon gain actuel (ce qui n'est pas le cas dans cet exercice), je compare l'espérance mathématique après grattage avec mon gain actuel...

Après longs calculs, j'ai trouvé que la somme reversée serait de 10+0,40. (arrondi au 5 centimes près).

Mais quelle est donc la stratégie optimale, ça se discute...

Shokin