variétés et fibrés

[Karibou Blanc]

Bonjour à tous,

J'ai du mal à saisir (avec des mots simples) la structure de fibré.
Je sais que c'est une variété différentiable (VD), caractérisée par une VD appelée base (B), une autre VD appelée fibre (F), et une projection P appliquant le fibré dans sa base.

J'ai compris ce qu'est un fibré tangent associé à M, il s'agit de la réunion des espaces tangents en chaque point de la variété M, mais j'ai plus de mal avec la définition générale.

Le fibré est-il un ensemble de VD, dont les éléments sont tous semblables (difféomorphes ?) à la fibre et dont la projection est un point de la base ?

Qu'est-ce exactement que la trivialisation ?

D'avance merci.
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[chaverondier]

Bonjour à tous,

J'ai du mal à saisir (avec des mots simples) la structure de fibré.
Je sais que c'est une variété différentiable (VD), caractérisée par une VD appelée base (B), une autre VD appelée fibre (F), et une projection P appliquant le fibré dans sa base.

J'ai compris ce qu'est un fibré tangent associé à M, il s'agit de la réunion des espaces tangents en chaque point de la variété M, mais j'ai plus de mal avec la définition générale.

Le fibré est-il un ensemble de VD, dont les éléments sont tous semblables (difféomorphes ?) à la fibre et dont la projection est un point de la base ?

En appelant
* V la variété différentielle base du fibré,
* x un point de cette base,
* Fx la fibre associée au point x de la base V,
le fibré c'est l'ensemble de tous les couples (x, y) tel que x appartienne à la base V et y appartienne à la fibre Fx.

Les fibrés les plus intéressants sont ceux dont toutes les fibres Fx sont isomorphes à un même groupe G et mieux encore où on a un groupe agissant transitivement sur la base V, possédant une représentation dans G.

Cela permet d'appliquer la fibre Fx (implantée en x) sur la fibre Fy (implantée en y) via l'action du groupe qui transporte x en y (et fait en même temps « tourner la fibre Fx » en la transportant dans Fy). Cela munit ainsi naturellement le fibré d'une connexion.

Pour plus de détails sur les fibrés voir : Espaces fibrés et Connexions (LPT Luminy) Robert Coquereaux.
http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/bo...ceforhtml.html

Bernard Chaverondier

[mariposa]

Bonjour à tous,

J'ai du mal à saisir (avec des mots simples) la structure de fibré.
Je sais que c'est une variété différentiable (VD), caractérisée par une VD appelée base (B), une autre VD appelée fibre (F), et une projection P appliquant le fibré dans sa base.

J'ai compris ce qu'est un fibré tangent associé à M, il s'agit de la réunion des espaces tangents en chaque point de la variété M, mais j'ai plus de mal avec la définition générale.

Le fibré est-il un ensemble de VD, dont les éléments sont tous semblables (difféomorphes ?) à la fibre et dont la projection est un point de la base ?

Qu'est-ce exactement que la trivialisation ?

D'avance merci.

Bonjour, Karibou Blanc et Chaverondier

Pour comprendre les espaces fibrés (je ne suis pas du tout un spécialiste), plutôt que de partir de définitions mathématiques je préfererais partir d'un problème précis et (ré)inventer la notion d'espace fibré. On y gagne en liberté car on s'approprie mieux les concepts.

remarque:

L'exemple que tu prends est me semble t-il un fibré trivial.

Un fibré non trivial, par exemple, serait d'associé à chaque point d'une variété un ruban de Miobus.

D'accord, pas d'accord

Mariposa

[Karibou Blanc]

Salut,

Le fibré tangent n'est pas nécessairement trivial. D'ailleurs, je n'ai pas vraiment donné d'exemple, car je n'ai pas spécifié d'atlas et par conséquent de fonctions de transitions.

[A voir en vidéo sur Futura]