Variétés différentiables

[Bleyblue]

Bonjour,

J'ai deux questions sur les var diff. :

1) Il semble que toute variété différentiable est localement connexe par arcs, étant donné qu'elle est localement homéomorphe à .
Pourriez-vous m'expliquer en quoi ce deuxième point implique le premier ? C'est sans doute très simple mais il n'empêche que je ne vois pas.

2) Si j'ai deux variétés différentiables M et N et un difféomorphisme de M vers N il semble aussi que les atlas maximaux de M et N se correspondent (j'imagine que ça veut dire sont en bijection) via le difféomorphisme.
Je ne vois pas non plus pourquoi.
J'ai une explication dans mon cours mais que je ne comprend pas.

merci
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[invite57a1e779]

Bonjour,

1) Soit un point de la variété et un voisinage de . Soit une carte contenant , alors est un voisinage de contenu dans . On a un homéomorphisme entre et un ouvert de qui fait que est localement connexe par arcs, donc que , et par suite contient un voisinage connexe par arcs de .

2) Tout d'abord, l'image par un difféomorphisme d'un atlas est un atlas.
Ensuite un difféomorphisme conserve l'inclusion des atlas : l'image d'un atlas maximal est un atlas maximal.

[Bleyblue]

Mais tu affirmes pleins de choses que je ne vois pas du tout en fait.

On a un homéomorphisme entre et un ouvert de qui fait que est localement connexe par arcs

Ah bon ?

Tout d'abord, l'image par un difféomorphisme d'un atlas est un atlas.

Ah bon ?

Désolé

[invite57a1e779]

1) On a un homéomorphisme entre la carte et un ouvert de qui est localement connexe par arcs.
Comme est un voisinage de dans , il contient un voisinage connexe par arcs de .
Alors est un voisinage de contenu dans .

2) Si est une carte de et un difféomorphisme de dans , alors est une carte de .
Pour montrer que l'image d'un atlas est un atlas, il faut montrer que les images de deux cartes compatibles de sont deux cartes compatibles de . C'est facile il suffit d'écrire les formules de changement de carte.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Ok je pense que je vois mieux

Mais le point 1) résulte du fait que tout ouvert de est localement connexe par arcs en fait.
Mais comme tout ouvert de est réunion de boules ouvertes qui sont connexes par arcs, c'est ok.

merci !

[invite57a1e779]

Si tu préfères, tu remplaces ma phrase

«Comme est un voisinage de dans , il contient un voisinage connexe par arcs de .»

par

«Comme est un voisinage de dans , il contient une boule ouverte connexe par arcs de centre .»

[Bleyblue]

Ok, je n'ai pas de problème avec la notion de voisinage (enfin il ne me semble pas ) mais j'avais juste du mal à voir qu'un ouvert de Rn était tout le temps localement connexe par arcs.

merci