probléme de racines complexes

[invite56184aa7]

Bonjour je suis nouveau et j'ai quelques problémes avec un exos de maths de PCSI.

Voici l'énoncé:
___________________n-1
Soit nEN*.On note An= PI sin(kpi/n)
___________________k=1
__________n-1
Soit Qn(X)=Sigma X^k
__________k=0
1)a)le réel 1 est-il racine de Qn?
b)Déterminer les racines complexes de Qn distinctes de 1.
_____________________n-1
2)En déduire que Qn(X)= Pi (X-exp(21kpi/n)).
_____________________k=1
3)En déduire que Qn(1)=2^(n-1)xAn.
4) En déduire la valeur de An en fonction de n.

Je me demande si pour la question 1)a) il faut résoudre Qn(X)=1^(n-1) et dans ce cas que faut-il arriver à trouver?
Pour la question 1)b)Faut-il résoudre Qn(X)=z^(n-1)?
Je vois comment faire la question 2):il faut factoriser le polynome Qn.
J'ai réussi a faire la question 3) mais à la fin je trouve que Qn(1)=2^(n-1)xAn si n impaire OU Qn(1)=-2^(n-1)xAn si n est paire et je ne vois pas comment exclure cette possibilité!
Enfin, j'ai quand même réussi à répondre à la question 4).

Est-ce que quelqu'un pourrais répondre à mes questions???Merci d'avance.
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Je me demande si pour la question 1)a) il faut résoudre Qn(X)=1^(n-1) et dans ce cas que faut-il arriver à trouver?

Pour cette question on te demande simplement si .

Pour la question 1)b)Faut-il résoudre Qn(X)=z^(n-1)?

Non. Trouver les racines de revient à résoudre . Le plus simple est de remarquer que est la somme des premiers termes d'une certaine suite géométrique : cela va te permettre d'écrire sous une forme qui facilitera la résolution de .

J'ai réussi a faire la question 3) mais à la fin je trouve que Qn(1)=2^(n-1)xAn si n impaire OU Qn(1)=-2^(n-1)xAn si n est paire et je ne vois pas comment exclure cette possibilité!

Peux-tu détailler ton calcul ?

[invite56184aa7]

Merci beaucoup de répondre!
Mon développement de la question 3) est le suivant:

Qn(1)=Pi (1-exp(2ikpi/n)=Pi -(exp(2ikpi/n)-1)
=Pi -exp(ikpi/n)(exp(ikpi/n-exp(-ikpi/n))
=Pi -(-2isin(kpi/n))exp(kpi/n)
=(Pi 2iexp(ikpi/n))x(Pi sin(kpi/n)
=Anx(2i)^(n-1)xexp(sigma exp(ikpi/n))
=Anx(2i)^(n-1)xexp(ipi/2x(n-1))
=Anx(2i)^(n-1)xi^(n-1)
=Anx2^(n-1)xexp(ipi(n-1))
si n est paire, exp(ipi(n-1))=-1
si n est impaire, exp(ipi(n-1))=1

[Flyingsquirrel]

Qn(1)=Pi (1-exp(2ikpi/n)=Pi -(exp(2ikpi/n)-1)
=Pi -exp(ikpi/n)(exp(ikpi/n-exp(-ikpi/n))
=Pi -(-2isin(kpi/n))exp(kpi/n)

Il y a un signe moins en trop :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite56184aa7]

j'ai refait mon calcul en enlevant le signe moins mais j'ai toujours le même résultat à la fin...

[Flyingsquirrel]

Bizarre.

Je ne détaille pas pourquoi vu que tu as déjà fait ce calcul...

[invite56184aa7]

a mais oui bien sur!
merci beaucoup pour votre aide..
Bonne journée!