v.a.r. sans mémoire

[invitec2409e2d]

bonjour,
je suis nouvelle sur ce site (et en 2eme année de prépa)
voilà, j'ai un DM ou je dois montrer que la loi exponentielle est sans mémoire et on a pas encore fait de cours dessus.
J'arrive à trouver que PX>m(X>m+n) = P(X>n) mais je n'arrive pas à trouver la réciproque... Désolé d'avance si l'énoncé est un peu long.


la loi exponentielle:
2) Soit X une v.a.r. telle que X() = R+ et sans mémoire.
Soit F sa fonction de répartition, et soit g la fonction définie sur R par g(x) = P(X>x). On suppose que la densité f de la var X est continue sur [0, +)
a) Exprimer g en fontion de F, en déduire l'expression de g sur ]-, 0].

J'imagine que g= 1-F mais pareil, j'ai beaucoup de mal à comprendre et j'aurais besoin d'un point de départ. Je pourais montrer comme ça que g estde classe C1 (b)).

c) Faut montrer que parce qu'elle est sans mémoire, il faut monter que g'(x) = g'(0)*g(x).
Ensuite il y a deux autres question mais pour reconnaître la loi exponentielle mais je pense que je m'en sortirais.

Je vous remercie d'avance pour l'aide
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[invite179e6258]

salut,

il faut partir de la définition, on dit que X est "sans mémoire" si P(X>t+s|X>t)=P(X>s) mais P(A|B)=P(AB)/P(B) <en notant l'intersection comme un produit> et donc P(X>s+t|X>t)=P(X>s+t)/P(X>t) < ceci parce que [X>s+t] est inclus dans [X>t] > et donc on a P(X>s+t)=P(X>s)P(X>t) ou g(s+t)=g(s)g(t)

[invitec2409e2d]

le seul problème c'est que je ne comprends pas à quoi correspond le s et le t dans l'exercice, il faudrait remplacer par quoi?
g= 1-F, c'est tout ce que j'arrive à faire dans la question a), je ne vois pas ce que l'on peut en déduire, ni même la forme de la fonction.
(ça m'embête car je ne suis pas mauvaise en math mais tant que je n'ai pas vu d'exercices de ce type, je ne comprends strictement rien....)
merci déjà pour la réponse.
On avait déjà une question (dans le DM) sur la loi géométrique que j'ai réussi à traiter par l'aide de quelqu'un mais pareil je ne comprends pas vraiment ce que cela veut dire...

[invite179e6258]

dans ton énoncé s et t sont m et n. Il n'y a pas beaucoup de solutions à l'équation fonctionnelle g(s+t)=g(s)g(t) (sachant que g est continue).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec2409e2d]

Je ne comprends pas non plus ce que sont m et n (mise à part que ce sont des nombres). J avais réussi à faire la question sur la loi géométrique car j ai vu un exercice qui ressemblait mais là impossible de trouver...
De la formule g(s+t) = g(t)*g(s) ce qui si on dérive, et on remplace t =0 je retrouve la formule qu'il faut demontrer mais je ne comprends pas ce que signifie la fonction G ici ( sauf G=1-F ) ni quelle forme elle a.

[invite179e6258]

F est la fonction de répartition, elle vaut 0 en 0, elle tend vers 1 en +infini, et elle est continue et croissante. g=1-F est continue et décroissante, vaut 1 en 0 et tend vers 0 en +infini. m et n sont juste des noms de variables. Ce que tu sais maintenant, c'est que g vérifie l'équation fonctionnelle g(m+n)=g(m)g(n) pour tous m,n positifs. Et de plus g(0)=1, lim g(x)=0 à l'infini. Tu dois pouvoir en déduire l'expression de g, et par là de F et en la dérivant de la densité de X.

[Amanuensis]

dans ton énoncé s et t sont m et n. Il n'y a pas beaucoup de solutions à l'équation fonctionnelle g(s+t)=g(s)g(t) (sachant que g est continue).

La question est dans l'autre sens : montrer que la loi exponentielle est sans mémoire.

[invite179e6258]

mais ça c'est le côté le plus facile : suffit d'intégrer la densité.

[invitec2409e2d]

toothpick-charlie: merci, en fait c'était ça que je n'avais pas compris, je n'avais pas fait le lien avec les 5 propriétés de la fonction de répartition ^^'
amanuensis: non c'est bien le fait qu'une v.a.r est sans mémoire qu'il faut prouver qu'elle est exponentielle.

[Amanuensis]

Annullé...

[invitec2409e2d]

"loi exponentielle:" c'est l'intitulé de l'exercice, la question 1 consistait à montrer que la loi exponentielle était sans mémoire. C'est bien la réciproque je n'arrive pas à faire même si là, je commence à comprendre comment faire.
je fais l'exo et je regarde si j'arrive à le terminer correctement, mais je pense que cela devrait aller

[invitec2409e2d]

tout compte fait, dernier problème.
Il faut montrer que h(x)= e^"lambda"x]*g(x) est une constante.
On a donc g'(x)=g'(0)*g(x) et on pose "lambda"=-g'(0)=f(0).

Déjà, g'(x)= -f(x) étant donné que g(x) = 1-F(x). Grâce à toothpick-charlie,j'ai le tableau de variation de g.
comme g'(x)=g'(0)*g(x) <=> g(x)=g'(x)/g'(0) <=> g(x)=g'(x)/"lambda"<=> g(x)= (1-f)/"lambda".
mais je ne vois pas en quoi h(x) devient alors une constante.

[invitec2409e2d]

il suffit juste de dériver?

[gg0]

Bonsoir.

je n'ai pas étudié de près l'exercice, mais une manière de montrer qu'une fonction est constante est de la dériver.

Cordialement.

[invitef1cb1318]

P(X>n)=P(X > m+n | X>m)


P(A|B = P(A,B) / P(B)


Pour avoir

P(X>m+n | X>m) = P(X>m+n,X>m) / P(X>m)


Le numérateur est la proba pour aue X soit à la fois supérieure à m+n ET supérueur à m


Mais
1/si X>m+n, alors X>m, et eonc la condition X>m+n et X>m est satisfaite.
2/ si X<=m+n, alors la condition X>m+n et X>m n'est certainement pas satisfairt

Les 2 evenements X>m+n et X>m+1 et X>2 sotn donc en fait un seul et même evement. EN consequene :

P(X>m+n,X>m) = P(X>m+n)

ON a maintenant :

P(X>m+n | X>m) = P(X>m+n / P(X>m)

Et pour exprimer le numérateur et de dénominateur à l'aidre de la ddp exponentielle :

P(X>m+n | X>m) = e-lambda(m+n) / e lambda m = e lambda n = P(X>n), relation qui exprime l'absence de mémoire de la distributino.

La distribution exponentielle est donc sans mémoire


Je ne me suis pas relu, mais ça doit etre à peu près ça sans trop me tromper. (et dieu sais si je me trompe souvent....)

plus le tps pour le reste, andiamo....