Salut à tous!!!
je suis bloquée; aidez moi à resoudre ce systeme:
a+b=1
a.x+b.y=1/2
a.x^2+b.y^2=1/3
a.x^3+b.y^3=1/4
vous pouvez me dire aussi la méthode que vous avez utilisé; et merci d'avance!!
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10/02/2013, 19h55
#2
breukin
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Re : systeme à resoudre!!!
Je ne sais pas si un argument de symétrie permet de dire immédiatement que .
Quoi qu'il en soit, on peut exclure ou , car alors ou et on a des équations élémentaires en seul ou en seul qui sont incohérentes.
On a d'abord d'après (1) .
En reportant dans (2), on a et donc .
En reportant dans (3), en multipliant par , on a , ce qui conduit, en remplaçant , à .
Et donc , et en notant , on a (on n'exclut pas les solutions complexes).
Enfin, en reportant dans (4), en multipliant par , on a , ce qui conduit (sans faire ici tous les calculs), en remplaçant , puis , à .
Comme , on a nécessairement (donc ), et donc puis .
11/02/2013, 06h00
#3
invitef3414c56
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Re : systeme à resoudre!!!
Bonjour,
voici une autre solution, qui utilise le développement en série entière de
Remplaçant par et , on multiplie par a et b, et on trouve:
On réduit au m\^eme dénominateur, on multiplie par , d'où
où est une série entière.
On identifie alors les coefficients de :
d'où et ; le reste est facile, on retombe bien s\^ur sur les solutions trouvées par Breukin.
Cordialement.
11/02/2013, 06h25
#4
invitef3414c56
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Re : systeme à resoudre!!!
Rectification:
dans la première égalité, remplacer b/(1-xz) par b/(1-yz) ; dans la première relation avec xy et x+y, remplacer -(x+y) par -(x+y)/2.
Aujourd'hui
A voir en vidéo sur Futura
11/02/2013, 06h55
#5
Médiat
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Re : systeme à resoudre!!!
Bonjour,
Il me semble qu'il y a plus simple :
1) (ax2 + by2)(x + y) = ax3 + bxy2 + ax2y + by3
(1/3)(x + y) = 1/4 + xy(ax + by) = 1/4 + (1/2)xy
4(x + y) = 3 + 6(xy)
2) (ax + by)(x + y) = ax2 + bxy + axy + by2
(1/2)(x + y) = 1/3 + xy( a+ b) = 1/3 + xy
3(x + y) = 2 + 6(xy)
Le reste est évident.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
11/02/2013, 07h40
#6
invitef3414c56
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Re : systeme à resoudre!!!
Re-bonjour,
Une dernière (? ) solution:
La suite récurrente vérifie la récurrence:
(évident, on le vérifie pour x^k et y^k, le cas général en résulte)
on a
On applique pour k=0 et k=1 dans la relation de récurrence, d'où deux relations donnant et
Cordialement.
11/02/2013, 08h00
#7
breukin
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Re : systeme à resoudre!!!
Il est sûr que ma solution était purement "mécanique"... mais aurait fonctionné avec un système moins symétrique (mais l'équation finale en "a" aurait été complexe).
11/02/2013, 08h01
#8
Médiat
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Re : systeme à resoudre!!!
@Jedoniuor : C'est bien cette méthode que j'ai appliquée
Dernière modification par Médiat ; 11/02/2013 à 09h25.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
13/02/2013, 18h14
#9
invitef3414c56
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Re : systeme à resoudre!!!
@Mediat:
Exact. Je n'avais pas bien regardé votre solution, désolé, c'est en fait la m\^eme.