systeme à resoudre!!!

[invite53af088b]

Salut à tous!!!
je suis bloquée; aidez moi à resoudre ce systeme:

a+b=1
a.x+b.y=1/2
a.x^2+b.y^2=1/3
a.x^3+b.y^3=1/4


vous pouvez me dire aussi la méthode que vous avez utilisé; et merci d'avance!!
-----

[breukin]

Je ne sais pas si un argument de symétrie permet de dire immédiatement que .
Quoi qu'il en soit, on peut exclure ou , car alors ou et on a des équations élémentaires en seul ou en seul qui sont incohérentes.

On a d'abord d'après (1) .
En reportant dans (2), on a et donc .
En reportant dans (3), en multipliant par , on a , ce qui conduit, en remplaçant , à .
Et donc , et en notant , on a (on n'exclut pas les solutions complexes).

Enfin, en reportant dans (4), en multipliant par , on a , ce qui conduit (sans faire ici tous les calculs), en remplaçant , puis , à .

Comme , on a nécessairement (donc ), et donc puis .

[invitef3414c56]

Bonjour,

voici une autre solution, qui utilise le développement en série entière de
Remplaçant par et , on multiplie par a et b, et on trouve:



On réduit au m\^eme dénominateur, on multiplie par , d'où



où est une série entière.

On identifie alors les coefficients de :





d'où et ; le reste est facile, on retombe bien s\^ur sur les solutions trouvées par Breukin.

Cordialement.

[invitef3414c56]

Rectification:
dans la première égalité, remplacer b/(1-xz) par b/(1-yz) ; dans la première relation avec xy et x+y, remplacer -(x+y) par -(x+y)/2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

Il me semble qu'il y a plus simple :

1) (ax² + by²)(x + y) = ax³ + bxy² + ax²y + by³

(1/3)(x + y) = 1/4 + xy(ax + by) = 1/4 + (1/2)xy

4(x + y) = 3 + 6(xy)


2) (ax + by)(x + y) = ax² + bxy + axy + by²


(1/2)(x + y) = 1/3 + xy( a+ b) = 1/3 + xy

3(x + y) = 2 + 6(xy)

Le reste est évident.

[invitef3414c56]

Re-bonjour,

Une dernière (? ) solution:
La suite récurrente vérifie la récurrence:

(évident, on le vérifie pour x^k et y^k, le cas général en résulte)
on a


On applique pour k=0 et k=1 dans la relation de récurrence, d'où deux relations donnant et

Cordialement.

[breukin]

Il est sûr que ma solution était purement "mécanique"... mais aurait fonctionné avec un système moins symétrique (mais l'équation finale en "a" aurait été complexe).

[Médiat]

@Jedoniuor : C'est bien cette méthode que j'ai appliquée

[invitef3414c56]

@Mediat:
Exact. Je n'avais pas bien regardé votre solution, désolé, c'est en fait la m\^eme.

Cordialement.