Polynome

[invitefc342db7]

Bonjour, j'aimerais que l'on m'aide pour un morceau d'un exercice.

On a un polynome E € R[X] / E(X+1) + E(X) = 2X^n
Je dois vérifier que E(1-X) = (-1)^n * E(X)
Puis que si n pair, E(1) = E(0) = 0 et n impair E(1/2)=0

Merci d'avance.
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[invitef3414c56]

Bonjour,
a)Vérifiez (si cela n'a pas déjà été fait dans une question précédente) que votre équation pour n fixé a une unique solution:
Si F(X) est un autre polyn\^ome solution posez G(X)=F(X)-E(X) et vérifier que G(X+1)=-G(X) et que donc G(X+2)=G(X). Si X_0 est une valeur fixée, on a donc G(X_0+2m)=G(x_0) pour tout m dans N. Je vous laisse en conclure que G est constant puis nul.

b) Posez F(X)=(-1)^n E(1-X) et vérifiez que F est solution et appliquez a).

Bien cordialement.