démonstration équation de Jeans

[fabio123]

Bonsoir,

dans le cadre d'un projet sur la dynamique d'un disque stellaire, j'ai besoin de démontrer l'équation de Jeans :

équation de Jeans et plus précisément cette équation :



Tout d'abord, sur l'article indiquant une démo pas assez complete, je pars de l'équation de Boltzmann sans collisions (avec la fonction de distribution dans l'espace des phases) :




En intégrant sur toutes les vitesses, nous pouvons écrire :



En définissant la densité et la vitesse moyenne d'une particule (ici une étoile) :



et là, premier problème : ils déduisent des équations (2) et (3) l'équation de continuité :



Comment peuvent-ils faire annuler le 3ème terme de l'équation (2) afin d'obtenir (4) ?

2*) Mon second problème : obtenir l'équation de Jeans suivante : (ici représente la densité de particules qui est notée ci-dessus) :



Si on multiplie l'équation de Boltzmann (1) par et intégrons sur toutes les vitesses, on peut écrire :



Dans l'article, ils disent que : "using the fact that for large and applying the divergence theorem, eq(5) can be written as :"



Comment puis-je simplifier l'équation (5) pour arriver à (6), surtout le troisième terme, en me servant des 2 affirmations ci-dessus ?

Que signifie cette hypothèse selon laquelle for large , je veux dire d'un point de vue physique ?

Pour ce qui est du "divergence theorem", je connais le théorème d'Ostrogradsky mais ne voit pas comment on peut l'utiliser avec ce troisième terme de l'equation (5)

Toute aide est la bienvenue
-----

[0577]

Bonjour,

je pense que pour la première question, il faut aussi supposer f ->0 pour v tendant vers l'infini.
Dans ce cas, le terme qui doit disparaître est l'intégrale sur v d'une dérivée totale en v
ce qui fait bien 0 car il n'y a pas de "terme de bord" par hypothèse.

Pour la deuxième question, c'est le même type d'argument. Je ne sais pas quel est le nom exact
ou "officiel" du théorème à utiliser (pour moi c'est un cas particulier du théorème de Stokes i.e
rien d'autre qu'une version multi-dimensionnelle d'une intégration par parties).
Toujours grâce à l'hypothèse f ->0 pour v tendant vers l'infini, il n'y a pas de terme de bord et on obtient ce
qu'on veut.

Pour l'interprétation de l'hypothèse f ->0 : on suppose que la probabilité qu'une particule ait une vitesse
très grande est très faible, ce qui est assez raisonnable.