Passage de la transformée de Fourier , à la transformée de Fourier discrète.

[invite39f9b8b2]

Bonjour à tous,
Je suis actuellement en école d'ingénieur, et j'avais un projet en mathématiques sur la Transformée de Fourier.
Bref, lors de ma soutenance, le prof m'a posé une question qui m'a pour le moins perturbée :
Comment fait on pour passer d'une intégrale infinie à une somme finie.
Je n'ai bien évidemment pas su répondre sur le moment, et pour m'aiguiller il m'a demandé de lui cité les propriétés des racine n-ièmes de l'unité. Cependant , je n'arrive toujours pas à faire le lien, j'ai regardé des cours sur l'échantillonnage des fonctions, sur les sommes de Riemann, mais je n'arrive toujours pas à pouvoir trouver une réponse mathématiques à sa question.
Si quelqu'un pourrais m'aidé ça serait vraiment sympa.
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[invite8d4af10e]

Bonjour
http://fcd.mines-ales.fr/fourier.pdf
sinon Google est ton Ami

[invite39f9b8b2]

Jamo, j'ai lu ton lien , mais cela n'explique pas comment passe t-on de la transformée de Fourier à la transformée de Fourier discrète.
Par ailleurs, le genre de réponses du style Google est ton ami, je pourrais très largement m'en passer. Tu t'imagines bien que si j'en viens à vous déranger sur un Forum, c'est que j'ai déjà eu fait mes recherches et qu'elles ne m'ont rien apportées...

[0577]

Je ne suis pas sûr de comprendre la question, en voici une interprétation :
on peut faire de la théorie de Fourier sur un groupe abélien fini (on obtient des
sommes finies), sur (on obtient des intégrales sur
des domaines bornés), sur une cercle (cas des fonctions périodiques) ou plus
généralement sur un tore (on obtient des séries), sur
(on obtient des intégrales sur des domaines non bornés);
quel est le lien entre ces différentes théories ?.

Réponse : ce sont des cas particuliers d'une théorie générale qui s'applique à tout groupe
topologique commutatif localement compact. Soit G un tel groupe. On appelle caractère de G
un morphisme de groupes continu de G vers U(1) (le groupe multiplicatif des nombres complexes
de module 1). On note G* l'ensemble des caractères de G : c'est naturellement un groupe commutatif
parce que U(1) l'est. On peut montrer que pour une topologie naturelle, G* est même un groupe
topologique localement compact, qu'on appelle le dual de G.
Sur G, il existe une mesure invariante, "la" mesure de Haar m(G) et on peut considérer L²(G) l'espace des fonctions définies sur G à valeurs complexes et L² par rapport à m(G).
L²(G) est naturellement un espace de Hilbert. Dans ce cadre, la décomposition de Fourier est
une décomposition de L²(G) en "morceaux paramétrés par G*".

Exemple : G=, les caractères sont les x -> , d'où G* = : la décomposition de Fourier s'écrit avec des intégrales sur .

G = un groupe abélien fini. Un caractère de G est à valeurs dans les éléments d'ordre fini de U(1)
i.e les racines de l'unité. Si G est d'ordre n, les caractères de G sont à valeurs dans les racines
n-ièmes de 1, en particulier il n'y a qu'un nombre fini de caractères (en fait G* est non canoniquement
isomorphe à G) : la décomposition de Fourier s'écrit avec des sommes finies.

[A voir en vidéo sur Futura]