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Décomposition en série de Fourier



  1. #1
    bustamx.71

    Décomposition en série de Fourier


    ------

    Bonjour à tous,

    Je ne sais pas comment m'y prendre pour traiter ce petit problème de traitement du signal.
    L'énoncé est le suivant :

    Décomposer en série de Fourier le signal x(t) = cos(2*pi*f1*t) * cos(2*pi*f2*t)
    avec f1 = 1000Hz et f2 = 300Hz

    Si quelqu'un peut me permettre d'arriver à faire cet exercice, je suis preneur et le remercie de son aide !
    Merci par avance !

    -----

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  3. #2
    gg0

    Re : Décomposition en série de Fourier

    Bonsoir.

    C'est un cas de série "évidente". Evidente parce que la série est finie.
    Connais-tu la formule de trigonométrie


    Tu trouveras une série à 2 termes non nuls, mais pour bien comprendre, regarde la fréquence de ta fonction.

    Cordialement.

  4. #3
    bustamx.71

    Re : Décomposition en série de Fourier

    Oui je connais cette formule trigo.
    Mais je ne sais pas trop comment l'utiliser pour arriver à ce que je veux ..
    Je me doute qu'ici on peut se passer des intégrales pour arriver au résultat, mais je ne vois pas comment utiliser cette formule en fait ..

    Est-ce possible de m'aiguiller un peu plus ?

  5. #4
    bustamx.71

    Re : Décomposition en série de Fourier

    En développant, on obtient

    Et après ??

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    gg0

    Re : Décomposition en série de Fourier

    Voila !

    Tu as terminé (sauf si tu veux donner la liste des coefficients).

  8. #6
    bustamx.71

    Re : Décomposition en série de Fourier

    Oui j'aimerais bien avoir mes coefficients a0, an et bn..
    Comment s'y prendre pour les déterminer ?

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  10. #7
    gg0

    Re : Décomposition en série de Fourier

    pour bien comprendre, regarde la fréquence de ta fonction
    Les fonctions sin(n f t) et cos( n f t) formant une famille libre, on peut utiliser une identification.
    a0 est évident. Il n'y a pas de sinus; il ne reste qu'à trouver les indices des deux coefficients non nuls.

  11. #8
    bustamx.71

    Re : Décomposition en série de Fourier

    Le coefficient a0 serait donc égal à 0 ?
    En simplifiant d'avantage, on obtient
    Il n'y a pas de sinus, donc les bn sont également nuls je pense ..?
    Reste à déterminer les an en mettant la précédente relation sous la forme : [an cos(2*pi*n*f*t)]

    Mais là je bloque ...

    C'est possible de m'aider un peu plus ?

  12. #9
    jamo

    Re : Décomposition en série de Fourier

    il faudra calculer l'intégrale pour avoir les "an"non ? , car après on passe au domaine fréquentiel , là je vois encore des "t" .

  13. #10
    bustamx.71

    Re : Décomposition en série de Fourier

    Bonjour Jamo, merci de vous interesser à cet énoncé !

    En effet, je ne sais pas trop si une intégration est nécessaire ..

  14. #11
    jamo

    Re : Décomposition en série de Fourier

    c'est quoi la définition des termes 'an'?

  15. #12
    bustamx.71

    Re : Décomposition en série de Fourier

    Et bien ce sont les coefficients affectés aux termes en cosinus lorsque l'expression est ramenée sous la forme d'une série de Fourier.

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  17. #13
    jamo

    Re : Décomposition en série de Fourier

    Int : intégrale
    a0=(1/2Pi)Int [f(t)dt] , les bornes de l'intégrale sont -Pi et Pi
    an=(1/Pi)Int[f(t)cos(nt)dt] ,les bornes de l'intégrale sont -Pi et Pi
    je ne vois pas comment tu pourrais faire autrement que d'intégrer .et c'est simple à intégrer en utilisant la même relation donnée plus haut

  18. #14
    gg0

    Re : Décomposition en série de Fourier

    En simplifiant d'avantage, on obtient [IMG]http://www.futura-sciences.com/cgi-bin/mimetex.cgi?x%28t%29%20=%20cos %20%282000%5Cpi*t%29%20.%20cos %20%28600%5Cpi*t%29[/IMG]
    Là tu tournes en rond ! C'est l'énoncé.

    Tu as trouvé a0 et les bn; restent les an. Pour cela tu as besoin de connaître l'écriture de ta fonction en série "infinie", donc sa fréquence. Comme elle est composée de fonctions de fréquences 1000 et 300, elle se répète avec la fréquence ...
    Tu peux aussi calculer les périodes et trouver une période commune. Puis en déduire l'écriture de la série de Fourier.
    Comme la série de Fourier est [IMG]http://www.futura-sciences.com/cgi-bin/mimetex.cgi?x%28t%29%20=%5Cfra c%7B1%7D%7B2%7D%20%28cos%20%28 2600%5Cpi*t%29%20+%20cos%20%28 1400%5Cpi*t%29%29[/IMG], il te suffit de repérer les indices n et m pour lesquels et où f est la fréquence de x.

    Je te laisse chercher cette fréquence f, car il est important que tu comprennes bien comment marchent les fréquences (et le triptyque fréquence/période/pulsation).

    Cordialement.

    Pour Jamo : Inutile de calculer des intégrales qui sont toutes nulles sauf 2 !! Et n'importe comment, on a besoin de la période pour calculer ces intégrales.
    Dernière modification par gg0 ; 10/02/2013 à 18h04.

  19. #15
    gg0

    Re : Décomposition en série de Fourier

    Mon message est mal passe, le revoici, corigé :

    En simplifiant d'avantage, on obtient
    Là tu tournes en rond ! C'est l'énoncé.

    Tu as trouvé a0 et les bn; restent les an>. Pour cela tu as besoin de connaître l'écriture de ta fonction en série "infinie", donc sa fréquence. Comme elle est composée de fonctions de fréquences 1000 et 300, elle se répète avec la fréquence ...<br>
    Tu peux aussi calculer les périodes et trouver une période commune. Puis en déduire l'écriture de la série de Fourier.
    Comme la série de Fourier est , il te suffit de repérer les indices n et m pour lesquels et où f est la fréquence de x.

  20. #16
    gg0

    Re : Décomposition en série de Fourier

    Jamo,

    l'intervalle d'intégration dépend de la période !!!
    Revois les formules. Ce que tu as écrit ne concerne que les fonction de fréquence 1.

    Cordialement.

  21. #17
    bustamx.71

    Re : Décomposition en série de Fourier

    Je ne vois pas comment déterminer une fréquence ou période commune ..
    Et je ne sais d'ailleurs pas en quoi cela pourrait m'être utile ... quel rapport avec les an ??

    Dur dur pour moi

  22. #18
    gg0

    Re : Décomposition en série de Fourier

    Il faudrait peut-être commencer à apprendre les bases sur les séries de Fourier. Elles concernent des fonctions périodiques, et la formule de la série utilise la fréquence ou la période. Au besoin, revois les cours sur les fonctions sinusoïdales, et le lien période/fréquence/pulsation. Bien sûr, je pourrais refaire un cours, mais je n'ai pas envie d'y passer la soirée, je n'ai pas d'exercice à faire, moi. Et toi tu as besoin de connaître tout ça.
    Tu peux regarder le début de ceci : http://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&...,d.d2k&cad=rja et après avoir trouvé les périodes, chercher une période commune (donc un multiple de chacune des deux périodes). Puis utiliser ça dans la formule des séries de Fourier que tu peux trouver ici : http://www.univ-sba.dz/fsi/lmd/Math3...iesFourier.pdf
    Bien entendu, si tu as eu des cours sur ces sujets, c'est par là qu'il faut commencer.

    " quel rapport avec les an" Un rapport essentiel, an est le coefficient de . Si tu ne connais pas f (ou la période T qui en est l'inverse), tu ne sais pas à quelle valeur de n correspond .

    Ce qui ne change rien au fait que tu as déjà la série de Fourier (2 coefficients non nuls, tous les autres nuls, donc pas écrits ).

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  24. #19
    bustamx.71

    Re : Décomposition en série de Fourier

    Rebonjour gg0,

    Merci pour tous vos petits conseils, ça m'a permis de bien comprendre je pense cette décomposition en série de Fourier.
    Finalement, j'ai trouvé la fréquence commune, correspondant au pgcd des deux fréquences f1 et f2, soit 100Hz.
    Ensuite, j'ai pu déterminer n et m, valant respectivement 7 et 13.
    Par identification on peut alors facilement trouver a7 = 1/2 et a13 = 1/2.

    Merci encore

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