Concernant l'element neutre dans un groupe

[invitedb62ad41]

Bonjour a tout le monde
J 'ai un petit problème avec l'élément neutre dans un groupe, J'ai trouvé cet exercice, j'ai fait tous les calculs a la fin j'ai trouvé un élément neutre, mais avec une autre chose. Est ce qu'on peut dire dans ce cas que l'élément neutre est unique , pourtant j'ai trouvé pour (a,b)=(0,0) une infinité d'élément qui vérifie la définition de l'élément neutre et un unique élément neutre pour les autres éléments.
Vous trouverez la solution en bas.
Merci

∀(a,b),(c,d)∈Z^2, (a,b)*(c,d)=(ac,ad+bc)
Cherchons s’il existe un élément (n_1,n_2 ) de Z^2 tel que, pour tout élément (a,b) :
(n_1,n_2 )*(a,b)=(a,b)*(n_1,n_2 )=(a,b)
Puisque la loi * est commutative il suffit de chercher (n_1,n_2 ) de Z^2 tel que, pour tout élément (a,b) :
(n_1,n_2 )*(a,b)=(a,b)
(n_1,n_2 )*(a,b)=(a,b)⟺(n_1 a,n_1 b+n_2 a)=(a,b)
⟺(n_1 a=a et n_1 b+n_2 a=b
⟺(a(n_1-1)=0 et n_1 b+n_2 .a-b=0
⟺(a=0 ∨ n_1=1 et n_1 b+n_2.a-b=0
Pour n_1=1, nous avons n_2=0 ou a=0
Pour a=0, nous avons b=0 ou n_1=1
Si on prend (a,b)=(0,0), alors ∀(n_1,n_2 )∈ Z^2, (n_1,n_2 )*(a,b)=(0,0).
Peut-on dire dans ce cas que loi * possède un élément neutre ? et qu'il est unique?
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[inviteea028771]

C'est pas franchement un groupe ton machin.

Et tu sembles faire des confusions. Un élément neutre e est tel que pour tout élément x de G, on ai e*x=x*e=x

Donc si on note e=(u,v) et x=(a,b)

Alors e*x=e nous donne :

ua = a
ub+va = b

La première équation nous donne u=1 (ça doit être vrai pour tout a), et alors la seconde équation nous donne v=0 (idem, ça doit être vrai pour tout a et tout b)

x*e=x donne la même chose. e est donc bien l'élément neutre.


Et un élément neutre est forcément unique : si e et e' sont deux éléments neutres, alors on a :

e*e' = e mais aussi e*e'=e', donc e' = e

[invitedb62ad41]

Merci pour votre réponse mais d pares l equation au=a on déduit a=0 ou u=1, donc on a pour u=1 nous avons tous les valeurs de a nous verédfie l ewation x*e=e*x=x. est ce que cela signifie que e=(a,b) aec a=0 et b=l autre valeur trouver est bien lélément neutre.
merci