Groupe, élément neutre

[moial]

Bonsoir,
Pouvez-vous m'expliquer s'il existe un rapport entre e' et e, qui sont respectivement les éléments neutre de H et G ( ou H est un sous groupe de G pour une certaine loi).
Cordialement,
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[DSCH]

Bonsoir, vous devriez pouvoir prouver facilement que e'=e.

[moial]

Merci de m'avoir répondu; mais est-ce que "e'=e" est un résultat général, ou existe-t-il un contre exemple d'un groupe qui n'aurait pas le même élément neutre qu'un de ses sous-groupes?
Cordialement,

[Médiat]

Bonjour,

Vous ne voyez pas la contradiction entre votre question et la réponse de DSCH (qui est correcte) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[moial]

Bonsoir,
Si je pose la question, c'est que justement que pour moi cette notion n'est pas claire. Donc non je ne vois pas la contradiction entre la réponse de DSCH et la mienne.
De fait, ma question reste toujours en suspens.. Je vous serai dès lors reconnaissant de répondre à ma question.
Cordialement,

[PlaneteF]

Bonsoir,
Si je pose la question, c'est que justement que pour moi cette notion n'est pas claire. Donc non je ne vois pas la contradiction entre la réponse de DSCH et la mienne.
De fait, ma question reste toujours en suspens.. Je vous serai dès lors reconnaissant de répondre à ma question.
Cordialement,

Bonsoir,

As-tu réussi à démontrer que e=e' ? ... Si oui, tu as bien démontré ce résultat quels que soient G et H.

[gg0]

Bonsoir.

la question de Moial n'est pas du tout idiote. Suivant la définition de "sous-groupe" que l'on a, la réponse n'est pas si évidente; à priori, rien n'interdit qu'une partie d'un groupe, munie de la même loi, donne aussi un groupe et que l'élément neutre du groupe ne soit pas dans la partie.

La réponse de DSCH ne peut satisfaire Moial, et du coup, il ne sent pas toute la contradiction. Au fait, DSCH, tu le prouves comment ?

Cordialement.

NB : ma question est sincère, je suis assez faible en algèbre.

[moial]

Suivant la définition de "sous-groupe" que l'on a, la réponse n'est pas si évidente; à priori, rien n'interdit qu'une partie d'un groupe, munie de la même loi, donne aussi un groupe et que l'élément neutre du groupe ne soit pas dans la partie.

C'est exactement ça! Je ne pense pas que l'égalité soit tout le temps vraie, c'est pour ça que je voudrais un contre-exemple pour en être totalement sûr.
Cordialement,

[PlaneteF]

C'est exactement ça! Je ne pense pas que l'égalité soit tout le temps vraie, c'est pour ça que je voudrais un contre-exemple pour en être totalement sûr.
Cordialement,

Tu peux chercher un contre-exemple pendant très, très, très longtemps, tu n'es pas prêt d'en trouver un

En fait, e=e' est une conséquence directe de la définition d'un sous-groupe : "Soit (G,*) un groupe. Un sous-ensemble H de G est un sous-groupe de G si H muni de la restriction de * à H est un groupe".

A partir de cette définition, je te laisse démontrer que e=e', ... c'est quasi-immédiat.

[PlaneteF]

Tu peux chercher un contre-exemple pendant très, très, très longtemps, tu n'es pas prêt d'en trouver un

En fait, e=e' est une conséquence directe de la définition d'un sous-groupe : "Soit (G,*) un groupe. Un sous-ensemble H de G est un sous-groupe de G si H muni de la restriction de * à H est un groupe".

A partir de cette définition, je te laisse démontrer que e=e', ... c'est quasi-immédiat.

En complément de mon message précédent :


Il existe une autre définition d'un sous-groupe que l'on trouve dans beaucoup de cours : "Soit (G,*) un groupe d'élément neutre e. Un sous-ensemble H de G est un sous-groupe de G, si e appartient à H, et si quels que soient x et y appartenant à H, x*y^-1 appartient à H".

On démontre de façon simple que cette définition est équivalente à la première définition donnée dans mon message précédent.

Là encore, si tu choisis cette définition, je te laisse le soin de démontrer que e=e', c'est de la même manière une conséquence directe de cette définition.

[Médiat]

Suivant la définition de "sous-groupe" que l'on a, la réponse n'est pas si évidente; à priori, rien n'interdit qu'une partie d'un groupe, munie de la même loi, donne aussi un groupe et que l'élément neutre du groupe ne soit pas dans la partie.

La réponse de DSCH ne peut satisfaire Moial, et du coup, il ne sent pas toute la contradiction. Au fait, DSCH, tu le prouves comment ?

Et pourtant DSCH indique qu'il est facile de démontrer que les éléments neutres sont égaux ; la bonne question n'est alors plus de savoir s'il existe un contre-exemple ou non, puisque la réponse est clairement non, mais de savoir si on sait ou non le démontrer, et de demander des indications pour la démonstration.

Indice : calculer e'*e' dans le sous-groupe, e*e' dans le groupe, à l'aide de la définition, les comparer et conclure.

[moial]

Ok, ça marche!
Merci

PS: Auriez-vous une bibliothèque sur le net qui proposerait des problèmes sur l'arithmétique sur K[X] est ses quotients