Une démonstration du théorème de Baire

[yootenhaiem]

Bonjour,
J'ai fais une petite démo, mais qui le simplisme est autant plus présent que le doute s'installe.

Énoncé:
Si (On)[n entier naturel] une suite d'ouverts denses dans E, un espace vectoriel normé.
Alors leur intersection est également dense dans E.
J'ai pensé a faire une récurrence forte sur le cardinal d'un ensemble formé d'ouverts denses dans E.

Pn:<< Pour n entier naturel, si U est un ensemble de n ouverts denses dans E, alors leur intersection est dense dans E.>>

- Pour le cas de n=1;

Il n'y a rien a démontrer.

- On suppose que (Pour tout k<n)Pk est vraie et Pn vraie aussi.
-On prouve que Pn+1 est vraie aussi.

Pour cela on prend U' l'ensemble de n+1 ouverts denses.
Une partition simple permet d'avoir U'=U union {On,On+1}, on a On intersection On+1 est un ouvert(intersection finie d'ouverts) dense(par hypothèse de récurrence) . d'ou on note son intersection O'.
On obtient l'intersection de n ouverts denses dans E, ce qui peut aboutir a la vérification de Pn pour tout entier naturel.

Conséquence:
<< Pour tout n entier naturel, si U est un ensemble de n ouverts denses dans E, alors leur intersection est dense dans E.>>
Cela prouve que pour une intersection quelconque d'ouverts dense, on peut affirmer qu'elle est également dense.
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[God's Breath]

Bonjour,

La récurrence prouve seulement que toute intersection finie d'ouverts denses est dense, mais elle ne permet pas d'atteindre la densité de l'intersection de la famille infinie.

[taladris]

Salut,

on sait que le théorème de Baire est vrai pour les espaces métriques complets. Les espaces de Banach (attention, ton énoncé est faux: il existe espaces vectoriels normés non complets) par exemple.

Tu n'utilises la complétude à aucun endroit dans ta preuve. Cela aurait du d'indiquer qu'elle était fausse.

Cordialement

[0577]

Bonjour,

j'ajoute que l'affirmation :

"pour une intersection quelconque d'ouverts dense, on peut affirmer qu'elle est également dense."

est fausse même pour un espace métrique complet. L'hypothèse de dénombrabilité est
essentielle. (Exemple : E = ,
alors ...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[yootenhaiem]

Bonjour,
En effet, il doit être complet, j'ai du oublier.
0577 votre exemple est très pertinent, et donc il faut une hypothèse de dénombrabilité a ajouter.
La complétude peut-elle être utilisée de cette manière?
On prend une suite: Un=Intersection des Oi {i=1..n} qui sont des ouverts denses dans E qui est de Banach.
Il faut ensuite prouver qu'elle est de Cauchy, mais selon quelle norme? une distance peut être(par densité d(Un-Un+p)=0)? Je n'ai jamais vu de telles suites.
De toute manière les premières valeurs de (Un) sont l’intérieur de E, c'est ce qu'on a trouve dans la récurrence.